حاسبة الجداء النقطي/الجداء الاتجاهي للمتجهات
حساب الجداء النقطي والجداء الاتجاهي والحجم والزاوية والمزيد للمتجهات ثنائية/ثلاثية الأبعاد
الجداء النقطي
A · B = |A||B|cos θ
A · B = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃
الجداء الاتجاهي
|A × B| = |A||B|sin θ
A × B ⊥ A, A × B ⊥ B
حجم المتجه
|A| = √(a₁² + a₂² + a₃²)
متجه الوحدة
û = A/|A|, |û| = 1
ولادة مفهوم المتجه
نشأ مفهوم المتجهات من أبحاث ويليام روان هاميلتون في الرباعيات في القرن التاسع عشر. طور جوزايا ويلارد جيبس وأوليفر هيفيسايد الرموز المتجهة التي نستخدمها اليوم.
ثورة في الفيزياء
أحدثت المتجهات ثورة في الفيزياء. جميع النظريات الفيزيائية الحديثة بما في ذلك معادلات ماكسويل وقوانين نيوتن للحركة ونظرية النسبية تقوم على رياضيات المتجهات. مفهوم المجالات المتجهة مهم بشكل خاص في الكهرومغناطيسية.
أساس رسومات الحاسوب
- • التحويلات ثلاثية الأبعاد: الدوران والترجمة والتحجيم
- • حسابات الإضاءة: الجداء النقطي للمتجهات العمودية وأشعة الضوء
- • كشف التصادم: الجداء الاتجاهي لاختبار التقاطع
- • الرسوم المتحركة: الاستيفاء وحساب المسار
الفضاءات المتجهة عالية الأبعاد
في التعلم الآلي، يتم تمثيل البيانات كمتجهات عالية الأبعاد. الصور هي متجهات من قيم البكسل، والنص هو متجهات تضمين الكلمات، والصوت هو متجهات من مكونات التردد.
حساب التشابه والبحث
تُستخدم تشابه جيب التمام (المبني على الجداء النقطي) بشكل واسع في أنظمة التوصية واسترجاع المعلومات ومعالجة اللغة الطبيعية. قواعد البيانات المتجهة تصبح أساس أنظمة الذكاء الاصطناعي الحديثة.
الشبكات العصبية وعمليات المتجهات
جميع عمليات التعلم العميق هي عمليات متجهة ومصفوفية. قدرات المعالجة المتوازية لوحدة معالجة الرسومات محسنة لعمليات المتجهات، مما يوفر الأساس الأجهزة لثورة الذكاء الاصطناعي.
تطوير الألعاب
- • حركة الشخصيات والدوران
- • محاكاة الفيزياء (الجاذبية، التصادم)
- • التحكم في الكاميرا وتحويل العرض
- • خوارزميات العثور على المسار للذكاء الاصطناعي
الروبوتات
- • الحركية العكسية للأذرع الروبوتية
- • دمج بيانات أجهزة الاستشعار
- • تخطيط المسار وتجنب العوائق
- • التحكم في الوضعية والتوازن
علم البيانات
- • تحليل المكونات الرئيسية (PCA)
- • خوارزميات التجميع
- • تقنيات تقليل الأبعاد
- • تحليل متجه الخصائص
الهندسة المالية
- • تحسين المحفظة الاستثمارية
- • تحليل متجه المخاطر
- • مصفوفات الارتباط
- • نماذج تسعير المشتقات
الحوسبة الكمية والمتجهات
الحالات الكمية ممثلة كمتجهات معقدة، والبوابات الكمية تعمل كمصفوفات أحادية. نظرًا لأن جميع عمليات الحوسبة الكمية تحدث في الفضاء المتجه، تصبح رياضيات المتجهات اللغة الأساسية لعلم المعلومات الكمية.
نماذج اللغة الكبيرة (LLM)
نماذج اللغة الكبيرة مثل GPT و BERT تعمل في فضاءات متجهة بمليارات الأبعاد. الكلمات والجمل والوثائق كلها ممثلة كمتجهات عالية الأبعاد، مما يتيح الحساب الرياضي للعلاقات الدلالية.
الميتافرس والواقع الافتراضي
البيئات ثلاثية الأبعاد للميتافرس وتقنيات VR/AR كلها مبنية على رياضيات المتجهات. العرض في الوقت الفعلي وتتبع المكان والتحفيز اللمسي وجميع التقنيات ذات الصلة تتطور جنبًا إلى جنب مع التقدم في حساب المتجهات.
نصائح التعلم
- • استخدم التصور ثنائي/ثلاثي الأبعاد لتطوير الحدس الهندسي
- • افهم المعنى الحقيقي للمتجهات من خلال مسائل الفيزياء
- • قم بتطبيق عمليات المتجهات مباشرة من خلال البرمجة
- • ادرس بشكل منهجي في ارتباط مع الجبر الخطي