ماشین حساب ضرب داخلی/خارجی بردار
ضرب داخلی، ضرب خارجی، اندازه، زاویه و موارد دیگر را برای بردارهای دو بعدی/سه بعدی محاسبه کنید
ضرب داخلی
A · B = |A||B|cos θ
A · B = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃
ضرب خارجی
|A × B| = |A||B|sin θ
A × B ⊥ A, A × B ⊥ B
اندازه بردار
|A| = √(a₁² + a₂² + a₃²)
بردار واحد
û = A/|A|, |û| = 1
تولد مفهوم بردار
مفهوم بردارها از تحقیقات کواترنیون ویلیام روان همیلتون در قرن نوزدهم سرچشمه گرفت. جوزایا ویلارد گیبس و الیور هویساید نماد برداری را که امروزه استفاده می‌کنیم توسعه دادند.
انقلاب در فیزیک
بردارها فیزیک را متحول کردند. تمام نظریه‌های فیزیک مدرن از جمله معادلات ماکسول، قوانین حرکت نیوتن و نظریه نسبیت بر اساس ریاضیات برداری هستند. مفهوم میدان‌های برداری به ویژه در الکترومغناطیس بسیار مهم است.
پایه و اساس گرافیک کامپیوتری
- • تبدیلات سه بعدی: چرخش، انتقال، مقیاس‌بندی
- • محاسبات نورپردازی: ضرب داخلی بردارهای نرمال و پرتوهای نور
- • تشخیص برخورد: ضرب خارجی برای تست تقاطع
- • انیمیشن: درون‌یابی و محاسبه مسیر
فضاهای برداری با ابعاد بالا
در یادگیری ماشین، داده‌ها به عنوان بردارهای با ابعاد بالا نمایش داده می‌شوند. تصاویر بردارهای مقادیر پیکسل، متن بردارهای جاسازی کلمات و صدا بردارهای مؤلفه‌های فرکانس هستند.
محاسبه شباهت و جستجو
شباهت کسینوسی (بر اساس ضرب داخلی) به طور گسترده در سیستم‌های توصیه‌گر، بازیابی اطلاعات و پردازش زبان طبیعی استفاده می‌شود. پایگاه‌های داده برداری در حال تبدیل شدن به پایه و اساس سیستم‌های هوش مصنوعی مدرن هستند.
شبکه‌های عصبی و عملیات برداری
تمام عملیات یادگیری عمیق عملیات برداری و ماتریسی هستند. قابلیت‌های پردازش موازی GPU برای عملیات برداری بهینه شده‌اند و پایه و اساس سخت‌افزاری انقلاب هوش مصنوعی را فراهم می‌کنند.
توسعه بازی
- • حرکت و چرخش شخصیت
- • شبیه‌سازی فیزیک (گرانش، برخورد)
- • کنترل دوربین و تبدیل نما
- • الگوریتم‌های مسیریابی هوش مصنوعی
رباتیک
- • سینماتیک معکوس برای بازوهای رباتیک
- • ادغام داده‌های حسگر
- • برنامه‌ریزی مسیر و اجتناب از موانع
- • کنترل وضعیت و تعادل
علم داده
- • تحلیل مؤلفه اصلی (PCA)
- • الگوریتم‌های خوشه‌بندی
- • تکنیک‌های کاهش ابعاد
- • تحلیل بردار ویژگی
مهندسی مالی
- • بهینه‌سازی سبد سهام
- • تحلیل بردار ریسک
- • ماتریس‌های همبستگی
- • مدل‌های قیمت‌گذاری مشتقات
محاسبات کوانتومی و بردارها
حالت‌های کوانتومی به عنوان بردارهای مختلط نمایش داده می‌شوند و گیت‌های کوانتومی به عنوان ماتریس‌های واحد عمل می‌کنند. از آنجایی که تمام عملیات محاسبات کوانتومی در فضای برداری رخ می‌دهد، ریاضیات برداری در حال تبدیل شدن به زبان اصلی علم اطلاعات کوانتومی است.
مدل‌های زبان بزرگ (LLM)
مدل‌های زبان بزرگ مانند GPT و BERT در فضاهای برداری با میلیاردها بعد عمل می‌کنند. کلمات، جملات و اسناد همه به عنوان بردارهای با ابعاد بالا نمایش داده می‌شوند و امکان محاسبه ریاضی روابط معنایی را فراهم می‌کنند.
متاورس و واقعیت مجازی
محیط‌های سه بعدی متاورس و فناوری‌های VR/AR همه بر اساس ریاضیات برداری هستند. رندرینگ در زمان واقعی، ردیابی فضایی، بازخورد لمسی و تمام فناوری‌های مرتبط در کنار پیشرفت‌های محاسبات برداری تکامل می‌یابند.
توصیه یادگیری
- • از تجسم دو بعدی/سه بعدی برای توسعه شهود هندسی استفاده کنید
- • معنای واقعی بردارها را از طریق مسائل فیزیک درک کنید
- • عملیات برداری را مستقیماً از طریق برنامه‌نویسی پیاده‌سازی کنید
- • به طور سیستماتیک در ارتباط با جبر خطی مطالعه کنید