वेक्टर डॉट/क्रॉस प्रोडक्ट कैलकुलेटर

2डी/3डी वैक्टर के लिए डॉट प्रोडक्ट, क्रॉस प्रोडक्ट, परिमाण, कोण और बहुत कुछ की गणना करें

वेक्टर इनपुट

वेक्टर घटकों को दर्ज करें

आयाम चुनें

वेक्टर ए

वेक्टर बी

ऑपरेशन चुनें

वेक्टर सूत्र

डॉट प्रोडक्ट

ए · बी = |ए||बी|cos θ

ए · बी = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃

क्रॉस प्रोडक्ट

|ए × बी| = |ए||बी|sin θ

ए × बी ⊥ ए, ए × बी ⊥ बी

वेक्टर परिमाण

|ए| = √(a₁² + a₂² + a₃²)

इकाई वेक्टर

û = ए/|ए|, |û| = 1

वेक्टर गणित का इतिहास और विकास

वेक्टर अवधारणा का जन्म

वेक्टरों की अवधारणा 19वीं शताब्दी में विलियम रोवन हैमिल्टन के चतुर्भुज अनुसंधान से उत्पन्न हुई। जोशिया विलार्ड गिब्स और ओलिवर हेवीसाइड ने आज हम जिस वेक्टर संकेतन का उपयोग करते हैं, उसे विकसित किया।

भौतिकी में क्रांति

वेक्टरों ने भौतिकी में क्रांति ला दी। मैक्सवेल के समीकरणों, न्यूटन के गति के नियमों और सापेक्षता सिद्धांत सहित सभी आधुनिक भौतिकी सिद्धांत वेक्टर गणित पर आधारित हैं। वेक्टर क्षेत्रों की अवधारणा विशेष रूप से विद्युत चुम्बकीयता में महत्वपूर्ण है।

कंप्यूटर ग्राफिक्स का आधार

• 3डी परिवर्तन: घूर्णन, अनुवाद, स्केलिंग
• प्रकाश गणना: सामान्य वैक्टर और प्रकाश किरणों का डॉट प्रोडक्ट
• टकराव का पता लगाना: प्रतिच्छेदन परीक्षण के लिए क्रॉस प्रोडक्ट
• एनिमेशन: इंटरपोलेशन और पथ गणना

एआई और मशीन लर्निंग में वेक्टर

उच्च-आयामी वेक्टर स्थान

मशीन लर्निंग में, डेटा को उच्च-आयामी वैक्टर के रूप में दर्शाया जाता है। छवियां पिक्सेल मानों के वेक्टर हैं, पाठ शब्द एम्बेडिंग वेक्टर हैं, और ऑडियो आवृत्ति घटकों के वेक्टर हैं।

समानता गणना और खोज

कोसाइन समानता (डॉट प्रोडक्ट पर आधारित) का उपयोग सिफारिश प्रणालियों, सूचना पुनर्प्राप्ति और प्राकृतिक भाषा प्रसंस्करण में व्यापक रूप से किया जाता है। वेक्टर डेटाबेस आधुनिक एआई प्रणालियों का आधार बन रहे हैं।

न्यूरल नेटवर्क और वेक्टर ऑपरेशन

सभी डीप लर्निंग ऑपरेशन वेक्टर और मैट्रिक्स ऑपरेशन हैं। जीपीयू समानांतर प्रसंस्करण क्षमताएं वेक्टर ऑपरेशनों के लिए अनुकूलित हैं, जो एआई क्रांति के लिए हार्डवेयर आधार प्रदान करती है।

क्षेत्र द्वारा वेक्टर अनुप्रयोग

गेम विकास

• चरित्र आंदोलन और घूर्णन
• भौतिकी सिमुलेशन (गुरुत्वाकर्षण, टकराव)
• कैमरा नियंत्रण और दृश्य परिवर्तन
• एआई पथ खोज एल्गोरिदम

रोबोटिक्स

• रोबोटिक हथियारों के लिए व्युत्क्रम कीनेमेटिक्स
• सेंसर डेटा संलयन
• पथ योजना और बाधा से बचाव
• पोज़ नियंत्रण और संतुलन

डेटा साइंस

• मुख्य घटक विश्लेषण (पीसीए)
• क्लस्टरिंग एल्गोरिदम
• आयामीता में कमी की तकनीकें
• फीचर वेक्टर विश्लेषण

वित्तीय इंजीनियरिंग

• पोर्टफोलियो अनुकूलन
• जोखिम वेक्टर विश्लेषण
• सहसंबंध मैट्रिक्स
• व्युत्पन्न मूल्य निर्धारण मॉडल

वेक्टर गणित का भविष्य

क्वांटम कंप्यूटिंग और वेक्टर

क्वांटम अवस्थाओं को जटिल वैक्टर के रूप में दर्शाया जाता है, और क्वांटम गेट एकात्मक मैट्रिक्स के रूप में कार्य करते हैं। चूंकि सभी क्वांटम कंप्यूटिंग ऑपरेशन वेक्टर स्पेस में होते हैं, वेक्टर गणित क्वांटम सूचना विज्ञान की मुख्य भाषा बन रहा है।

बड़े भाषा मॉडल (एलएलएम)

जीपीटी और बीईआरटी जैसे बड़े भाषा मॉडल अरबों आयामों वाले वेक्टर स्पेस में काम करते हैं। शब्द, वाक्य और दस्तावेज़ सभी उच्च-आयामी वैक्टर के रूप में दर्शाए जाते हैं, जिससे अर्थ संबंधी संबंधों की गणितीय गणना सक्षम होती है।

मेटावर्स और वर्चुअल रियलिटी

मेटावर्स और वीआर/एआर प्रौद्योगिकियों के 3डी वातावरण सभी वेक्टर गणित पर आधारित हैं। वास्तविक समय रेंडरिंग, स्थानिक ट्रैकिंग, हैप्टिक फीडबैक, और सभी संबंधित प्रौद्योगिकियां वेक्टर गणना में प्रगति के साथ विकसित होती हैं।

सीखने की सलाह

• ज्यामितीय अंतर्ज्ञान विकसित करने के लिए 2डी/3डी विज़ुअलाइज़ेशन का उपयोग करें
• भौतिकी समस्याओं के माध्यम से वैक्टर का वास्तविक अर्थ समझें
• प्रोग्रामिंग के माध्यम से सीधे वेक्टर ऑपरेशन लागू करें
• रैखिक बीजगणित के संबंध में व्यवस्थित रूप से अध्ययन करें