벡터 내적/외적 계산기
2D/3D 벡터의 내적, 외적, 크기, 각도 등을 계산합니다
내적 (Dot Product)
A · B = |A||B|cos θ
A · B = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃
외적 (Cross Product)
|A × B| = |A||B|sin θ
A × B ⊥ A, A × B ⊥ B
벡터의 크기
|A| = √(a₁² + a₂² + a₃²)
단위벡터
û = A/|A|, |û| = 1
벡터 개념의 탄생
벡터의 개념은 19세기 윌리엄 로완 해밀턴(William Rowan Hamilton)의 사원수(quaternion) 연구에서 시작되었습니다. 조사이어 윌라드 깁스(Josiah Willard Gibbs)와 올리버 헤비사이드(Oliver Heaviside)가 현재 사용하는 벡터 표기법을 개발했습니다.
물리학에서의 혁명
벡터는 물리학에 혁명을 가져왔습니다. 맥스웰 방정식, 뉴턴의 운동법칙, 상대성 이론 등 모든 현대 물리학 이론이 벡터 수학을 기반으로 합니다. 특히 전자기학에서 벡터장의 개념이 핵심적입니다.
컴퓨터 그래픽스의 기초
- • 3D 변환: 회전, 이동, 크기 변경
- • 조명 계산: 법선 벡터와 광선의 내적
- • 충돌 감지: 벡터의 외적을 이용한 교차 판정
- • 애니메이션: 보간과 경로 계산
고차원 벡터 공간
머신러닝에서 데이터는 고차원 벡터로 표현됩니다. 이미지는 픽셀 값의 벡터, 텍스트는 단어 임베딩 벡터, 음성은 주파수 성분의 벡터로 변환되어 처리됩니다.
유사도 계산과 검색
코사인 유사도(내적 기반)는 추천 시스템, 정보 검색, 자연어 처리에서 핵심적으로 사용됩니다. 벡터 데이터베이스(Vector DB)가 현대 AI 시스템의 기반이 되고 있습니다.
신경망과 벡터 연산
딥러닝의 모든 연산은 벡터와 행렬 연산입니다. GPU의 병렬 처리 능력이 벡터 연산에 최적화되어 있어 AI 혁명의 하드웨어적 기반이 되었습니다.
게임 개발
- • 캐릭터 이동과 회전
- • 물리 시뮬레이션 (중력, 충돌)
- • 카메라 제어와 시점 변환
- • AI 경로 찾기 알고리즘
로봇공학
- • 로봇 팔의 역기구학
- • 센서 데이터 융합
- • 경로 계획과 장애물 회피
- • 자세 제어와 균형
데이터 사이언스
- • 주성분 분석 (PCA)
- • 클러스터링 알고리즘
- • 차원 축소 기법
- • 특성 벡터 분석
금융 공학
- • 포트폴리오 최적화
- • 리스크 벡터 분석
- • 상관관계 매트릭스
- • 파생상품 가격 모델
양자 컴퓨팅과 벡터
양자 상태는 복소수 벡터로 표현되며, 양자 게이트는 유니터리 행렬로 작동합니다. 양자 컴퓨팅의 모든 연산이 벡터 공간에서 이루어지므로, 벡터 수학이 양자 정보학의 핵심 언어가 되고 있습니다.
대규모 언어 모델 (LLM)
GPT, BERT 등의 대규모 언어 모델은 수십억 차원의 벡터 공간에서 작동합니다. 단어, 문장, 문서가 모두 고차원 벡터로 표현되어 의미적 관계를 수학적으로 계산할 수 있게 되었습니다.
메타버스와 가상현실
메타버스의 3D 환경, VR/AR 기술은 모두 벡터 수학을 기반으로 합니다. 실시간 렌더링, 공간 추적, 햅틱 피드백 등 모든 기술이 벡터 연산의 발전과 함께 진화하고 있습니다.
학습 조언
- • 기하학적 직관을 기르기 위해 2D/3D 시각화 활용
- • 물리학 문제를 통해 벡터의 실제 의미 이해
- • 프로그래밍으로 벡터 연산 직접 구현해보기
- • 선형대수학과 연계하여 체계적으로 학습