Kalkulator Nombor Kompleks
Kira penambahan, penolakan, pendaraban, dan pembahagian nombor kompleks.
(a + bi) + (c + di)
Penambahan dan Penolakan
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i
Pendaraban dan Pembahagian
(a + bi) × (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
(a + bi) ÷ (c + di) = [(ac + bd) + (bc - ad)i] / (c² + d²)
Sifat Asas Nombor Kompleks
- i² = -1 (kuasa dua unit khayalan)
- Konjugat kompleks: konjugat a + bi ialah a - bi
- Modulus: |a + bi| = √(a² + b²)
- Untuk pembahagian, darab pengangka dan penyebut dengan konjugat penyebut
Penemuan dan Perkembangan Nombor Kompleks
Nombor kompleks ditemui oleh ahli matematik Itali pada abad ke-16 semasa menyelesaikan persamaan kubik. Pada mulanya dipanggil "nombor khayalan" dan dianggap tidak wujud, kini ia memainkan peranan penting dalam fizik, kejuruteraan, sains komputer, dan banyak bidang lain.
Perkembangan Sejarah
- • 1545: Pertama kali disebut oleh Cardano
- • 1637: Descartes mencipta istilah "khayalan"
- • 1748: Euler memperkenalkan simbol i
- • 1797: Gauss memperkenalkan konsep satah kompleks
- • 1831: Gauss mencipta istilah "nombor kompleks"
Ahli Matematik Utama
- • Euler: Formula e^(iπ) + 1 = 0
- • Gauss: Satah kompleks dan teorem asas
- • Hamilton: Penemuan kuaternion
- • Riemann: Pembangunan teori fungsi kompleks
- • Cauchy: Teori kamiran kompleks
Tafsiran Geometri Nombor Kompleks
Satah Kompleks (Satah Gaussian)
Paksi nyata: paksi mendatar (paksi-x)
Paksi khayalan: paksi menegak (paksi-y)
Nombor kompleks z = a + bi: titik (a, b)
Modulus: jarak dari asal |z| = √(a² + b²)
Argumen: sudut dengan paksi nyata θ
Perwakilan Bentuk Kutub
Bentuk kutub: z = r(cos θ + i sin θ)
Formula Euler: e^(iθ) = cos θ + i sin θ
Bentuk eksponen: z = re^(iθ)
Pendaraban: darab moduli dan tambah argumen
Kuasa: gunakan teorem De Moivre
Nombor Kompleks dalam Fizik
Kejuruteraan Elektrik
- • Analisis litar AC
- • Pengiraan impedans
- • Perwakilan hubungan fasa
- • Pengiraan kuasa
- • Reka bentuk penapis
Mekanik Kuantum
- • Perwakilan fungsi gelombang
- • Persamaan Schrödinger
- • Amplitud kebarangkalian
- • Superposisi keadaan kuantum
- • Prinsip ketidakpastian
Pemprosesan Isyarat
- • Transformasi Fourier
- • Analisis domain frekuensi
- • Penapis digital
- • Pemprosesan audio
- • Pemprosesan imej
Aplikasi dalam Sains Komputer
Grafik Komputer
Putaran 2D: melaksanakan putaran menggunakan pendaraban kompleks
Fraktal: set Mandelbrot, set Julia
Animasi: putaran dan transformasi lancar
Pemprosesan warna: penukaran ruang warna HSV
Pembangunan permainan: pergerakan dan putaran watak
Algoritma
FFT: Transformasi Fourier Pantas
Pendaraban polinomial: pengiraan cekap
Padanan rentetan: algoritma Rabin-Karp
Analisis berangka: algoritma pencarian akar
Kriptografi: kriptografi lengkung elips
Fungsi Kompleks dan Analisis
Ciri-ciri Fungsi Kompleks
Fungsi Analitik
- • Memenuhi persamaan Cauchy-Riemann
- • Boleh dibezakan tanpa had
- • Boleh diwakili dengan siri Taylor
- • Prinsip maksimum berlaku
Kamiran Kompleks
- • Teorem kamiran Cauchy
- • Teorem baki
- • Kebebasan laluan
- • Aplikasi kepada kamiran nyata
Nombor Kompleks dalam Teknologi Moden
Teknologi Komunikasi
- • Komunikasi wayarles 5G/6G
- • Modulasi OFDM
- • Reka bentuk antena
- • Penyamaan saluran
- • Sistem radar
Kecerdasan Buatan
- • Pemberat rangkaian neural
- • Pengoptimuman pembelajaran mendalam
- • Penglihatan komputer
- • Pemprosesan bahasa semula jadi
- • Pengkomputeran kuantum
Kejuruteraan Kewangan
- • Model penetapan harga opsyen
- • Pengurusan risiko
- • Pengoptimuman portfolio
- • Penilaian derivatif
- • Perdagangan algoritma
🔬 Petua Pembelajaran Nombor Kompleks
- • Intuisi geometri: Menggambarkan nombor kompleks sebagai titik pada satah kompleks memudahkan pemahaman operasi.
- • Menggunakan formula Euler: e^(iθ) = cos θ + i sin θ menghubungkan fungsi trigonometri dan eksponen.
- • Cari aplikasi sebenar: Kaji bagaimana nombor kompleks digunakan dalam litar elektrik, pemprosesan isyarat, dan masalah sebenar lain.
- • Amalan pengaturcaraan: Melaksanakan operasi nombor kompleks dalam Python, MATLAB, dll. memperdalam pemahaman.