toolsmoah

Kalkulator Sistem Persamaan Linear (2×2)

Selesaikan sistem persamaan linear dengan dua pemboleh ubah

Input Sistem Persamaan
Masukkan dalam bentuk a₁x + b₁y = c₁, a₂x + b₂y = c₂
x +y =
x +y =

a₁x b₁y = c₁

a₂x b₂y = c₂

Petua Cramer

Penyelesaian kepada Sistem Persamaan

D = a₁b₂ - a₂b₁ (penentu utama)

Dₓ = c₁b₂ - c₂b₁

Dᵧ = a₁c₂ - a₂c₁

x = Dₓ/D, y = Dᵧ/D (apabila D ≠ 0)

Klasifikasi Penyelesaian

D ≠ 0Penyelesaian unik wujud
D = 0, Dₓ = Dᵧ = 0Penyelesaian tak terhingga banyaknya
D = 0, Dₓ ≠ 0 또는 Dᵧ ≠ 0Tiada penyelesaian
Sejarah dan Pembangunan Sistem Persamaan

Asal-usul dalam Tamadun Purba

Sejarah sistem persamaan bermula sejak tablet tanah liat Babylon sekitar 2000 SM. 'Sembilan Bab mengenai Seni Matematik' Cina (abad ke-1 SM) menggunakan kaedah yang serupa dengan penghapusan Gauss moden, iaitu 1800 tahun lebih awal daripada Barat.

Pembangunan dalam Matematik Moden

Pada abad ke-18, Gabriel Cramer menubuhkan petua Cramer, dan pada abad ke-19, Carl Friedrich Gauss menyusun penghapusan Gauss secara sistematik. Abad ke-20 menyaksikan kemajuan besar dalam kaedah analisis berangka dengan pembangunan komputer.

Kepentingan dalam Sains Komputer

  • • Grafik komputer: transformasi 3D, pengiraan pencahayaan, animasi
  • • Pembangunan permainan: enjin fizik, pengesanan perlanggaran, pencarian laluan
  • • Robotik: kinematik songsang, perancangan laluan, sistem kawalan
  • • Pemprosesan isyarat: reka bentuk penapis, pemprosesan imej, pengecaman pertuturan
Aplikasi dalam AI dan Pembelajaran Mesin

Regresi Linear dan Pengoptimuman

Regresi linear, asas pembelajaran mesin, pada dasarnya adalah masalah sistem persamaan. Proses mencari pemberat optimum melalui Persamaan Normal adalah menyelesaikan sistem persamaan linear.

Rangkaian Neural dan Perambatan Balik

Kemas kini pemberat dalam pembelajaran mendalam dimodelkan sebagai sistem persamaan. Terutamanya dalam Rangkaian Neural Berulang (RNN), perubahan keadaan temporal dinyatakan sebagai sistem persamaan pembezaan.

Masalah Pengoptimuman Terkekang

Dalam Mesin Vektor Sokongan (SVM), pengoptimuman portfolio, dan masalah peruntukan sumber, kekangan dinyatakan sebagai sistem persamaan linear untuk penyelesaian.

Aplikasi mengikut Bidang

Ekonomi dan Kewangan

  • • Pengiraan keseimbangan pasaran
  • • Pengoptimuman portfolio
  • • Model penentuan harga opsyen
  • • Pemodelan makroekonomi

Kejuruteraan dan Fizik

  • • Analisis litar elektrik
  • • Analisis struktur (kaedah unsur terhingga)
  • • Simulasi dinamik bendalir
  • • Reka bentuk sistem kawalan

Analisis Data

  • • Analisis regresi berganda
  • • Analisis Komponen Utama (PCA)
  • • Algoritma pengelompokan
  • • Sistem pengesyoran

Penyelidikan Operasi

  • • Pengaturcaraan linear
  • • Pengoptimuman rantaian bekalan
  • • Masalah penjadualan
  • • Aliran rangkaian
Strategi Pembelajaran dan Prospek Masa Depan

Kaedah Pembelajaran Berkesan

  • • Memahami persilangan garisan melalui tafsiran geometri
  • • Berlatih memodelkan masalah dunia nyata sebagai persamaan
  • • Pembelajaran perbandingan pelbagai kaedah (penghapusan, penggantian, petua Cramer)
  • • Pengalaman dengan sistem berskala besar menggunakan alat komputer

Prospek dalam Era Pengkomputeran Kuantum

Komputer kuantum berpotensi untuk menyelesaikan sistem persamaan linear secara eksponen lebih cepat. Algoritma HHL (Harrow-Hassidim-Lloyd) menyediakan penyelesaian yang lebih cepat secara eksponen daripada komputer klasik dalam keadaan tertentu.

Data Raya dan Pengkomputeran Teragih

Sistem persamaan berskala besar moden boleh mempunyai berjuta-juta pemboleh ubah, menjadikan teknik pengkomputeran teragih dan pemprosesan selari penting. Teknologi seperti Apache Spark dan CUDA digunakan.

    Kalkulator Sistem Persamaan Linear (2×2) | toolsmoah