Kalkulator permutacji/kombinacji
Oblicz permutacje (P) i kombinacje (C) z rozwiązaniami krok po kroku
P(n, r) = ?
Wybierz r z n elementów, biorąc pod uwagę kolejność
Permutacja
P(n, r) = n! / (n - r)!
Gdy kolejność ma znaczenie
np. ABC, ACB, BAC są różne
Kombinacja
C(n, r) = n! / (r! × (n - r)!)
Gdy kolejność nie ma znaczenia
np. ABC, ACB, BAC są takie same
Przykłady z życia wzięte
Przykłady permutacji
- • Tworzenie haseł
- • Określanie 1., 2., 3. miejsca w wyścigu
- • Rozmieszczenie miejsc
Przykłady kombinacji
- • Tworzenie zespołu
- • Wybór menu
- • Tworzenie komitetu
Historyczny rozwój kombinatoryki
Kombinatoryka rozpoczęła się w starożytnych Indiach i Chinach i przekształciła się w podstawową dziedzinę współczesnej matematyki. Od trójkąta Pascala i dwumianu Newtona po współczesną teorię grafów i kryptografię, kombinatoryka odegrała kluczową rolę w rozwoju matematyki i informatyki.
Starożytność i średniowiecze
- • Indie (II w. p.n.e.): współczynniki dwumianowe Pingali
- • Chiny (XI w.): trójkąt Yang Hui
- • Świat islamu (XII w.): kombinatoryka Al-Karadżiego
- • Europa (XIII w.): problemy kombinatoryczne Fibonacciego
Epoka nowożytna
- • Pascal (XVII w.): łączenie prawdopodobieństwa i kombinatoryki
- • Euler (XVIII w.): teoria funkcji tworzących
- • XX wiek: teoria grafów, teoria projektowania
- • Współczesność: integracja z informatyką
Związek z teorią prawdopodobieństwa
Podstawowe obliczenia prawdopodobieństwa
Prawdopodobieństwo klasyczne: P(A) = zdarzenia sprzyjające / wszystkie zdarzenia
Prawdopodobieństwo permutacji: prawdopodobieństwo zdarzeń zależnych od kolejności
Prawdopodobieństwo kombinacji: prawdopodobieństwo zdarzeń niezależnych od kolejności
Prawdopodobieństwo warunkowe: prawdopodobieństwo w określonych warunkach
Praktyczne przykłady zastosowań
Gry karciane: obliczanie prawdopodobieństwa układów pokerowych
Loteria: obliczanie prawdopodobieństwa wygranej
Kontrola jakości: prawdopodobieństwo kontroli próbek
Genetyka: prawdopodobieństwo kombinacji genów
Strategia mistrzostwa w kombinatoryce
- • Klasyfikacja problemu: Najpierw określ znaczenie kolejności, aby odróżnić permutację/kombinację.
- • Podejście krok po kroku: Dziel złożone problemy na mniejsze jednostki.
- • Użyj symetrii: Znajdź symetrie problemu, aby uprościć obliczenia.
- • Praktyczne zastosowanie: Zastosuj kombinatorykę do codziennych problemów, aby zbudować intuicję.
- • Praktyka programowania: Implementuj algorytmy kombinatoryczne poprzez kodowanie.