Kalkulator iloczynu skalarnego/wektorowego wektorów
Obliczaj iloczyn skalarny, iloczyn wektorowy, długość, kąt i inne dla wektorów 2D/3D
Iloczyn skalarny
A · B = |A||B|cos θ
A · B = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃
Iloczyn wektorowy
|A × B| = |A||B|sin θ
A × B ⊥ A, A × B ⊥ B
Długość wektora
|A| = √(a₁² + a₂² + a₃²)
Wektor jednostkowy
û = A/|A|, |û| = 1
Narodziny pojęcia wektora
Pojęcie wektorów wywodzi się z badań Williama Rowana Hamiltona nad kwaternionami w XIX wieku. Josiah Willard Gibbs i Oliver Heaviside opracowali notację wektorową, której używamy dzisiaj.
Rewolucja w fizyce
Wektory zrewolucjonizowały fizykę. Wszystkie współczesne teorie fizyczne, w tym równania Maxwella, prawa ruchu Newtona i teoria względności, opierają się na matematyce wektorowej. Pojęcie pól wektorowych jest szczególnie istotne w elektromagnetyzmie.
Podstawa grafiki komputerowej
- • Transformacje 3D: obrót, translacja, skalowanie
- • Obliczenia oświetlenia: iloczyn skalarny wektorów normalnych i promieni świetlnych
- • Wykrywanie kolizji: iloczyn wektorowy do testowania przecięć
- • Animacja: interpolacja i obliczanie ścieżki
Wielowymiarowe przestrzenie wektorowe
W uczeniu maszynowym dane są reprezentowane jako wielowymiarowe wektory. Obrazy to wektory wartości pikseli, tekst to wektory osadzania słów, a dźwięk to wektory składowych częstotliwości.
Obliczanie podobieństwa i wyszukiwanie
Podobieństwo kosinusowe (oparte na iloczynie skalarnym) jest szeroko stosowane w systemach rekomendacyjnych, wyszukiwaniu informacji i przetwarzaniu języka naturalnego. Bazy danych wektorowych stają się podstawą nowoczesnych systemów sztucznej inteligencji.
Sieci neuronowe i operacje wektorowe
Wszystkie operacje uczenia głębokiego to operacje wektorowe i macierzowe. Możliwości przetwarzania równoległego GPU są zoptymalizowane pod kątem operacji wektorowych, stanowiąc podstawę sprzętową dla rewolucji w sztucznej inteligencji.
Tworzenie gier
- • Ruch i obrót postaci
- • Symulacja fizyki (grawitacja, kolizja)
- • Sterowanie kamerą i transformacja widoku
- • Algorytmy wyszukiwania ścieżek AI
Robotyka
- • Kinematyka odwrotna dla ramion robotycznych
- • Fuzja danych z czujników
- • Planowanie ścieżki i unikanie przeszkód
- • Kontrola postawy i równowagi
Nauka o danych
- • Analiza głównych składowych (PCA)
- • Algorytmy klastrowania
- • Techniki redukcji wymiarowości
- • Analiza wektorów cech
Inżynieria finansowa
- • Optymalizacja portfela
- • Analiza wektorów ryzyka
- • Macierze korelacji
- • Modele wyceny instrumentów pochodnych
Obliczenia kwantowe i wektory
Stany kwantowe są reprezentowane jako wektory zespolone, a bramki kwantowe działają jako macierze unitarne. Ponieważ wszystkie operacje obliczeń kwantowych odbywają się w przestrzeni wektorowej, matematyka wektorowa staje się podstawowym językiem nauki o informacji kwantowej.
Duże modele językowe (LLM)
Duże modele językowe, takie jak GPT i BERT, działają w przestrzeniach wektorowych o miliardach wymiarów. Słowa, zdania i dokumenty są reprezentowane jako wielowymiarowe wektory, co umożliwia matematyczne obliczanie relacji semantycznych.
Metaverse i wirtualna rzeczywistość
Środowiska 3D metaverse i technologie VR/AR opierają się na matematyce wektorowej. Renderowanie w czasie rzeczywistym, śledzenie przestrzenne, sprzężenie zwrotne haptyczne i wszystkie powiązane technologie ewoluują wraz z postępem w obliczeniach wektorowych.
Porady dotyczące nauki
- • Użyj wizualizacji 2D/3D, aby rozwinąć intuicję geometryczną
- • Zrozum prawdziwe znaczenie wektorów poprzez problemy fizyczne
- • Implementuj operacje wektorowe bezpośrednio poprzez programowanie
- • Ucz się systematycznie w połączeniu z algebrą liniową