Калькулятор скалярного/векторного произведения векторов
Рассчитайте скалярное произведение, векторное произведение, величину, угол и многое другое для 2D/3D векторов
Скалярное произведение
A · B = |A||B|cos θ
A · B = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃
Векторное произведение
|A × B| = |A||B|sin θ
A × B ⊥ A, A × B ⊥ B
Модуль вектора
|A| = √(a₁² + a₂² + a₃²)
Единичный вектор
û = A/|A|, |û| = 1
Зарождение концепции вектора
Концепция векторов возникла из исследований кватернионов Уильяма Роуэна Гамильтона в 19 веке. Джозайя Уиллард Гиббс и Оливер Хевисайд разработали векторную нотацию, которую мы используем сегодня.
Революция в физике
Векторы произвели революцию в физике. Все современные физические теории, включая уравнения Максвелла, законы движения Ньютона и теорию относительности, основаны на векторной математике. Концепция векторных полей особенно важна в электромагнетизме.
Основа компьютерной графики
- • 3D-преобразования: вращение, перенос, масштабирование
- • Расчеты освещения: скалярное произведение нормальных векторов и световых лучей
- • Обнаружение столкновений: векторное произведение для проверки пересечений
- • Анимация: интерполяция и расчет пути
Многомерные векторные пространства
В машинном обучении данные представляются в виде многомерных векторов. Изображения - это векторы значений пикселей, текст - это векторы встраивания слов, а аудио - это векторы частотных компонентов.
Расчет сходства и поиск
Косинусное сходство (на основе скалярного произведения) широко используется в рекомендательных системах, информационном поиске и обработке естественного языка. Векторные базы данных становятся основой современных систем ИИ.
Нейронные сети и векторные операции
Все операции глубокого обучения - это векторные и матричные операции. Возможности параллельной обработки GPU оптимизированы для векторных операций, обеспечивая аппаратную основу для революции в области ИИ.
Разработка игр
- • Движение и вращение персонажей
- • Моделирование физики (гравитация, столкновения)
- • Управление камерой и преобразование вида
- • Алгоритмы поиска пути ИИ
Робототехника
- • Обратная кинематика для роботизированных рук
- • Слияние данных датчиков
- • Планирование пути и избегание препятствий
- • Управление позой и балансом
Наука о данных
- • Анализ главных компонент (PCA)
- • Алгоритмы кластеризации
- • Методы уменьшения размерности
- • Анализ векторов признаков
Финансовая инженерия
- • Оптимизация портфеля
- • Анализ вектора риска
- • Матрицы корреляции
- • Модели ценообразования производных
Квантовые вычисления и векторы
Квантовые состояния представляются как комплексные векторы, а квантовые вентили действуют как унитарные матрицы. Поскольку все операции квантовых вычислений происходят в векторном пространстве, векторная математика становится основным языком квантовой информатики.
Большие языковые модели (LLM)
Большие языковые модели, такие как GPT и BERT, работают в векторных пространствах с миллиардами измерений. Слова, предложения и документы представляются как многомерные векторы, что позволяет математически вычислять семантические отношения.
Метавселенная и виртуальная реальность
3D-среды метавселенной и технологии VR/AR основаны на векторной математике. Рендеринг в реальном времени, пространственное отслеживание, тактильная обратная связь и все связанные технологии развиваются вместе с достижениями в векторных вычислениях.
Советы по обучению
- • Используйте 2D/3D визуализацию для развития геометрической интуиции
- • Поймите истинный смысл векторов через физические задачи
- • Реализуйте векторные операции непосредственно через программирование
- • Систематически изучайте в связи с линейной алгеброй