เครื่องคำนวณระบบสมการเชิงเส้น (2×2)
แก้ระบบสมการเชิงเส้นที่มีสองตัวแปรไม่ทราบค่า
a₁x b₁y = c₁
a₂x b₂y = c₂
คำตอบของระบบสมการ
D = a₁b₂ - a₂b₁ (ดีเทอร์มิแนนต์หลัก)
Dₓ = c₁b₂ - c₂b₁
Dᵧ = a₁c₂ - a₂c₁
x = Dₓ/D, y = Dᵧ/D (เมื่อ D ≠ 0)
การจำแนกคำตอบ
ต้นกำเนิดในอารยธรรมโบราณ
ประวัติของระบบสมการย้อนกลับไปถึงแผ่นดินเหนียวบาบิโลนประมาณ 2000 ปีก่อนคริสตกาล 'เก้าบทว่าด้วยศิลปะคณิตศาสตร์' ของจีน (ศตวรรษที่ 1 ก่อนคริสตกาล) ใช้วิธีการที่คล้ายกับการกำจัดแบบเกาส์สมัยใหม่ ซึ่งล้ำหน้าตะวันตกถึง 1800 ปี
การพัฒนาในคณิตศาสตร์สมัยใหม่
ในศตวรรษที่ 18 Gabriel Cramer ได้สร้างกฎของ Cramer และในศตวรรษที่ 19 Carl Friedrich Gauss ได้จัดระบบการกำจัดแบบเกาส์ ศตวรรษที่ 20 ได้เห็นความก้าวหน้าอย่างมากในวิธีการวิเคราะห์เชิงตัวเลขด้วยการพัฒนาคอมพิวเตอร์
ความสำคัญในวิทยาการคอมพิวเตอร์
- • คอมพิวเตอร์กราฟิกส์: การแปลง 3D, การคำนวณแสง, แอนิเมชัน
- • การพัฒนาเกม: เอนจินฟิสิกส์, การตรวจจับการชน, การหาเส้นทาง
- • หุ่นยนต์: จลนศาสตร์ผกผันสำหรับแขนหุ่นยนต์, การรวมข้อมูลเซ็นเซอร์, การวางแผนเส้นทางและการหลีกเลี่ยงสิ่งกีดขวาง, การควบคุมท่าทางและการทรงตัว
- • การประมวลผลสัญญาณ: การออกแบบฟิลเตอร์, การประมวลผลภาพ, การรู้จำเสียงพูด
การถดถอยเชิงเส้นและการเพิ่มประสิทธิภาพ
การถดถอยเชิงเส้น ซึ่งเป็นรากฐานของการเรียนรู้ของเครื่อง เป็นปัญหาของระบบสมการโดยพื้นฐาน กระบวนการหาค่าถ่วงน้ำหนักที่เหมาะสมที่สุดผ่านสมการปกติคือการแก้ระบบสมการเชิงเส้น
โครงข่ายประสาทเทียมและการแพร่กระจายย้อนกลับ
การอัปเดตน้ำหนักในการเรียนรู้เชิงลึกถูกจำลองเป็นระบบสมการ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในโครงข่ายประสาทเทียมแบบวนซ้ำ (RNNs) การเปลี่ยนแปลงสถานะชั่วคราวจะแสดงเป็นระบบสมการผลต่าง
ปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพแบบมีข้อจำกัด
ใน Support Vector Machines (SVM), การเพิ่มประสิทธิภาพพอร์ตโฟลิโอ และปัญหาการจัดสรรทรัพยากร ข้อจำกัดจะแสดงเป็นระบบสมการเชิงเส้นเพื่อหาคำตอบ
เศรษฐศาสตร์และการเงิน
- • การคำนวณสมดุลตลาด
- • การเพิ่มประสิทธิภาพพอร์ตโฟลิโอ
- • แบบจำลองการกำหนดราคาออปชัน
- • การสร้างแบบจำลองเศรษฐกิจมหภาค
วิศวกรรมศาสตร์และฟิสิกส์
- • การวิเคราะห์วงจรไฟฟ้า
- • การวิเคราะห์โครงสร้าง (วิธีไฟไนต์เอลิเมนต์)
- • การจำลองพลศาสตร์ของไหล
- • การออกแบบระบบควบคุม
การวิเคราะห์ข้อมูล
- • การวิเคราะห์การถดถอยหลายตัวแปร
- • การวิเคราะห์ส่วนประกอบหลัก (PCA)
- • อัลกอริทึมการจัดกลุ่ม
- • ระบบแนะนำ
การวิจัยการดำเนินงาน
- • การเขียนโปรแกรมเชิงเส้น
- • การเพิ่มประสิทธิภาพห่วงโซ่อุปทาน
- • ปัญหาการจัดตารางเวลา
- • การไหลของเครือข่าย
วิธีการเรียนรู้ที่มีประสิทธิภาพ
- • ทำความเข้าใจการตัดกันของเส้นผ่านการตีความทางเรขาคณิต
- • ฝึกการสร้างแบบจำลองปัญหาในโลกแห่งความเป็นจริงเป็นสมการ
- • การเรียนรู้เปรียบเทียบวิธีการต่างๆ (การกำจัด, การแทนที่, กฎของ Cramer)
- • ประสบการณ์กับระบบขนาดใหญ่โดยใช้เครื่องมือคอมพิวเตอร์
แนวโน้มในยุคการคำนวณควอนตัม
คอมพิวเตอร์ควอนตัมมีศักยภาพในการแก้ระบบสมการเชิงเส้นได้เร็วกว่าแบบทวีคูณ อัลกอริทึม HHL (Harrow-Hassidim-Lloyd) ให้คำตอบที่เร็วกว่าคอมพิวเตอร์คลาสสิกแบบทวีคูณภายใต้เงื่อนไขบางประการ
Big Data และการคำนวณแบบกระจาย
ระบบสมการขนาดใหญ่สมัยใหม่สามารถมีตัวแปรนับล้าน ทำให้เทคนิคการคำนวณแบบกระจายและการประมวลผลแบบขนานเป็นสิ่งจำเป็น เทคโนโลยีเช่น Apache Spark และ CUDA ถูกนำมาใช้