เครื่องคำนวณผลคูณจุด/ผลคูณเชิงเวกเตอร์
คำนวณผลคูณจุด ผลคูณเชิงเวกเตอร์ ขนาด มุม และอื่นๆ สำหรับเวกเตอร์ 2D/3D
ผลคูณจุด
A · B = |A||B|cos θ
A · B = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃
ผลคูณเชิงเวกเตอร์
|A × B| = |A||B|sin θ
A × B ⊥ A, A × B ⊥ B
ขนาดเวกเตอร์
|A| = √(a₁² + a₂² + a₃²)
เวกเตอร์หน่วย
û = A/|A|, |û| = 1
กำเนิดแนวคิดเวกเตอร์
แนวคิดของเวกเตอร์มีต้นกำเนิดมาจากการวิจัยควอเทอร์เนียนของ William Rowan Hamilton ในศตวรรษที่ 19 Josiah Willard Gibbs และ Oliver Heaviside ได้พัฒนาสัญกรณ์เวกเตอร์ที่เราใช้ในปัจจุบัน
การปฏิวัติในฟิสิกส์
เวกเตอร์ปฏิวัติฟิสิกส์ ทฤษฎีฟิสิกส์สมัยใหม่ทั้งหมด รวมถึงสมการของ Maxwell, กฎการเคลื่อนที่ของ Newton และทฤษฎีสัมพัทธภาพ ล้วนอิงตามคณิตศาสตร์เวกเตอร์ แนวคิดของสนามเวกเตอร์มีความสำคัญอย่างยิ่งในแม่เหล็กไฟฟ้า
รากฐานของคอมพิวเตอร์กราฟิกส์
- • การแปลง 3D: การหมุน, การเลื่อน, การปรับขนาด
- • การคำนวณแสง: ผลคูณจุดของเวกเตอร์ปกติและรังสีแสง
- • การตรวจจับการชน: ผลคูณเชิงเวกเตอร์สำหรับการทดสอบการตัดกัน
- • แอนิเมชัน: การประมาณค่าและการคำนวณเส้นทาง
ปริภูมิเวกเตอร์มิติสูง
ในการเรียนรู้ของเครื่อง ข้อมูลจะถูกแสดงเป็นเวกเตอร์มิติสูง รูปภาพคือเวกเตอร์ของค่าพิกเซล ข้อความคือเวกเตอร์การฝังคำ และเสียงคือเวกเตอร์ของส่วนประกอบความถี่
การคำนวณความคล้ายคลึงและการค้นหา
ความคล้ายคลึงโคไซน์ (อิงตามผลคูณจุด) ถูกนำมาใช้อย่างกว้างขวางในระบบแนะนำ การดึงข้อมูล และการประมวลผลภาษาธรรมชาติ ฐานข้อมูลเวกเตอร์กำลังกลายเป็นรากฐานของระบบ AI สมัยใหม่
โครงข่ายประสาทเทียมและการดำเนินการเวกเตอร์
การดำเนินการเรียนรู้เชิงลึกทั้งหมดเป็นการดำเนินการเวกเตอร์และเมทริกซ์ ความสามารถในการประมวลผลแบบขนานของ GPU ได้รับการปรับให้เหมาะสมสำหรับการดำเนินการเวกเตอร์ ซึ่งเป็นรากฐานฮาร์ดแวร์สำหรับการปฏิวัติ AI
การพัฒนาเกม
- • การเคลื่อนที่และการหมุนของตัวละคร
- • การจำลองฟิสิกส์ (แรงโน้มถ่วง, การชน)
- • การควบคุมกล้องและการแปลงมุมมอง
- • อัลกอริทึมการหาเส้นทาง AI
หุ่นยนต์
- • จลนศาสตร์ผกผันสำหรับแขนหุ่นยนต์
- • การรวมข้อมูลเซ็นเซอร์
- • การวางแผนเส้นทางและการหลีกเลี่ยงสิ่งกีดขวาง
- • การควบคุมท่าทางและการทรงตัว
วิทยาการข้อมูล
- • การวิเคราะห์ส่วนประกอบหลัก (PCA)
- • อัลกอริทึมการจัดกลุ่ม
- • เทคนิคการลดมิติ
- • การวิเคราะห์เวกเตอร์คุณลักษณะ
วิศวกรรมการเงิน
- • การเพิ่มประสิทธิภาพพอร์ตโฟลิโอ
- • การวิเคราะห์เวกเตอร์ความเสี่ยง
- • เมทริกซ์สหสัมพันธ์
- • แบบจำลองการกำหนดราคาอนุพันธ์
การคำนวณควอนตัมและเวกเตอร์
สถานะควอนตัมถูกแสดงเป็นเวกเตอร์เชิงซ้อน และเกตควอนตัมทำงานเป็นเมทริกซ์เอกภาพ เนื่องจากการดำเนินการคำนวณควอนตัมทั้งหมดเกิดขึ้นในปริภูมิเวกเตอร์ คณิตศาสตร์เวกเตอร์จึงกลายเป็นภาษาหลักของวิทยาการสารสนเทศควอนตัม
แบบจำลองภาษาขนาดใหญ่ (LLM)
แบบจำลองภาษาขนาดใหญ่เช่น GPT และ BERT ทำงานในปริภูมิเวกเตอร์ที่มีมิติหลายพันล้านมิติ คำ ประโยค และเอกสารทั้งหมดถูกแสดงเป็นเวกเตอร์มิติสูง ซึ่งช่วยให้สามารถคำนวณความสัมพันธ์ทางความหมายทางคณิตศาสตร์ได้
Metaverse และความเป็นจริงเสมือน
สภาพแวดล้อม 3D ของ metaverse และเทคโนโลยี VR/AR ล้วนอิงตามคณิตศาสตร์เวกเตอร์ การเรนเดอร์แบบเรียลไทม์ การติดตามเชิงพื้นที่ การตอบสนองแบบสัมผัส และเทคโนโลยีที่เกี่ยวข้องทั้งหมดพัฒนาไปพร้อมกับความก้าวหน้าในการคำนวณเวกเตอร์
คำแนะนำการเรียนรู้
- • ใช้การแสดงภาพ 2D/3D เพื่อพัฒนาสัญชาตญาณทางเรขาคณิต
- • ทำความเข้าใจความหมายที่แท้จริงของเวกเตอร์ผ่านปัญหาทางฟิสิกส์
- • นำการดำเนินการเวกเตอร์ไปใช้โดยตรงผ่านการเขียนโปรแกรม
- • ศึกษาอย่างเป็นระบบโดยเชื่อมโยงกับพีชคณิตเชิงเส้น