Máy tính tích vô hướng/tích có hướng của vector
Tính toán tích vô hướng, tích có hướng, độ lớn, góc và nhiều hơn nữa cho các vector 2D/3D
Tích vô hướng
A · B = |A||B|cos θ
A · B = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃
Tích có hướng
|A × B| = |A||B|sin θ
A × B ⊥ A, A × B ⊥ B
Độ lớn vector
|A| = √(a₁² + a₂² + a₃²)
Vector đơn vị
û = A/|A|, |û| = 1
Sự ra đời của khái niệm vector
Khái niệm vector bắt nguồn từ nghiên cứu quaternion của William Rowan Hamilton vào thế kỷ 19. Josiah Willard Gibbs và Oliver Heaviside đã phát triển ký hiệu vector mà chúng ta sử dụng ngày nay.
Cuộc cách mạng trong vật lý
Vector đã cách mạng hóa vật lý. Tất cả các lý thuyết vật lý hiện đại bao gồm phương trình Maxwell, định luật chuyển động của Newton và lý thuyết tương đối đều dựa trên toán học vector. Khái niệm trường vector đặc biệt quan trọng trong điện từ học.
Nền tảng của đồ họa máy tính
- • Biến đổi 3D: xoay, dịch chuyển, tỷ lệ
- • Tính toán ánh sáng: tích vô hướng của các vector pháp tuyến và tia sáng
- • Phát hiện va chạm: tích có hướng để kiểm tra giao điểm
- • Hoạt ảnh: nội suy và tính toán đường đi
Không gian vector chiều cao
Trong học máy, dữ liệu được biểu diễn dưới dạng các vector chiều cao. Hình ảnh là các vector giá trị pixel, văn bản là các vector nhúng từ, và âm thanh là các vector thành phần tần số.
Tính toán và tìm kiếm sự tương đồng
Độ tương đồng cosine (dựa trên tích vô hướng) được sử dụng rộng rãi trong các hệ thống khuyến nghị, truy xuất thông tin và xử lý ngôn ngữ tự nhiên. Cơ sở dữ liệu vector đang trở thành nền tảng của các hệ thống AI hiện đại.
Mạng nơ-ron và các phép toán vector
Tất cả các phép toán học sâu đều là các phép toán vector và ma trận. Khả năng xử lý song song của GPU được tối ưu hóa cho các phép toán vector, cung cấp nền tảng phần cứng cho cuộc cách mạng AI.
Phát triển trò chơi
- • Chuyển động và xoay nhân vật
- • Mô phỏng vật lý (trọng lực, va chạm)
- • Điều khiển camera và biến đổi khung nhìn
- • Thuật toán tìm đường AI
Robot học
- • Động học ngược cho cánh tay robot
- • Hợp nhất dữ liệu cảm biến
- • Lập kế hoạch đường đi và tránh chướng ngại vật
- • Điều khiển tư thế và cân bằng
Khoa học dữ liệu
- • Phân tích thành phần chính (PCA)
- • Thuật toán phân cụm
- • Các kỹ thuật giảm chiều
- • Phân tích vector đặc trưng
Kỹ thuật tài chính
- • Tối ưu hóa danh mục đầu tư
- • Phân tích vector rủi ro
- • Ma trận tương quan
- • Mô hình định giá phái sinh
Điện toán lượng tử và vector
Các trạng thái lượng tử được biểu diễn dưới dạng các vector phức, và các cổng lượng tử hoạt động như các ma trận đơn vị. Vì tất cả các phép toán điện toán lượng tử đều xảy ra trong không gian vector, toán học vector đang trở thành ngôn ngữ cốt lõi của khoa học thông tin lượng tử.
Mô hình ngôn ngữ lớn (LLM)
Các mô hình ngôn ngữ lớn như GPT và BERT hoạt động trong không gian vector với hàng tỷ chiều. Từ, câu và tài liệu đều được biểu diễn dưới dạng các vector chiều cao, cho phép tính toán toán học các mối quan hệ ngữ nghĩa.
Metaverse và thực tế ảo
Môi trường 3D của metaverse và các công nghệ VR/AR đều dựa trên toán học vector. Kết xuất thời gian thực, theo dõi không gian, phản hồi xúc giác và tất cả các công nghệ liên quan đều phát triển cùng với những tiến bộ trong tính toán vector.
Lời khuyên học tập
- • Sử dụng hình ảnh hóa 2D/3D để phát triển trực giác hình học
- • Hiểu ý nghĩa thực sự của vector thông qua các bài toán vật lý
- • Thực hiện các phép toán vector trực tiếp thông qua lập trình
- • Nghiên cứu một cách có hệ thống liên quan đến đại số tuyến tính