向量点积/叉积计算器
计算2D/3D向量的点积、叉积、模长、角度等
向量输入
输入向量分量
向量公式
点积
A · B = |A||B|cos θ
A · B = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃
叉积
|A × B| = |A||B|sin θ
A × B ⊥ A, A × B ⊥ B
向量模长
|A| = √(a₁² + a₂² + a₃²)
单位向量
û = A/|A|, |û| = 1
向量数学的历史与发展
向量概念的诞生
向量概念起源于19世纪威廉·罗万·汉密尔顿的四元数研究。乔西亚·威拉德·吉布斯和奥利弗·亥维赛德发展了我们今天使用的向量记号法。
物理学革命
向量彻底改变了物理学。包括麦克斯韦方程、牛顿运动定律和相对论在内的所有现代物理学理论都基于向量数学。向量场的概念在电磁学中尤为重要。
计算机图形学的基础
- • 3D变换：旋转、平移、缩放:
- • 光照计算：法向量与光线的点积:
- • 碰撞检测：用叉积进行相交测试:
- • 动画：插值和路径计算:
AI和机器学习中的向量
高维向量空间
在机器学习中，数据被表示为高维向量。图像是像素值向量，文本是词嵌入向量，音频是频率分量向量。
相似度计算和搜索
余弦相似度（基于点积）在推荐系统、信息检索和自然语言处理中广泛使用。向量数据库正在成为现代AI系统的基础。
神经网络和向量运算
所有深度学习操作都是向量和矩阵运算。GPU并行处理能力为向量运算进行了优化，为AI革命提供了硬件基础。
向量在各领域的应用
游戏开发
- • 角色移动和旋转
- • 物理模拟（重力、碰撞）
- • 相机控制和视图变换
- • AI路径查找算法
机器人技术
- • 机械臂逆运动学
- • 传感器数据融合
- • 路径规划和障碍回避
- • 姿态控制和平衡
数据科学
- • 主成分分析(PCA)
- • 聚类算法
- • 维度减少技术
- • 特征向量分析
金融工程
- • 投资组合优化
- • 风险向量分析
- • 相关矩阵
- • 衍生品定价模型
向量数学的未来
量子计算与向量
量子态表示为复向量，量子门作为酉矩阵运算。由于所有量子计算操作都在向量空间中进行，向量数学正在成为量子信息科学的核心语言。
大型语言模型 (LLM)
像GPT和BERT这样的大型语言模型在数十亿维的向量空间中运行。单词、句子和文档都表示为高维向量，从而可以对语义关系进行数学计算。
元宇宙与虚拟现实
元宇宙和VR/AR技术的3D环境都基于向量数学。实时渲染、空间跟踪、触觉反馈以及所有相关技术都随着向量计算的进步而发展。
学习建议
- • 通过2D/3D可视化培养几何直觉
- • 通过物理问题理解向量的真实意义
- • 通过编程直接实现向量运算
- • 与线性代数结合进行系统学习