ベクトル内積・外積計算機
2D/3Dベクトルの内積、外積、大きさ、角度などを計算
内積
A · B = |A||B|cos θ
A · B = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃
外積
|A × B| = |A||B|sin θ
A × B ⊥ A, A × B ⊥ B
ベクトルの大きさ
|A| = √(a₁² + a₂² + a₃²)
単位ベクトル
û = A/|A|, |û| = 1
ベクトル概念の誕生
ベクトルの概念は19世紀にウィリアム・ローワン・ハミルトンの四元数研究から生まれました。ジョサイア・ウィラード・ギブスとオリバー・ヘヴィサイドが現在使われているベクトル記法を開発しました。
物理学での革命
ベクトルは物理学を革命的に変えました。マクスウェル方程式、ニュートンの運動法則、相対性理論を含む現代物理学の全ての理論がベクトル数学に基づいています。特に電磁気学ではベクトル場の概念が重要です。
コンピュータグラフィックスの基盤
- • 3D変換: 回転、平行移動、拡大縮小
- • 光の計算: 法線ベクトルと光線の内積
- • 衝突検出: 交差判定での外積使用
- • アニメーション: 補間と経路計算
高次元ベクトル空間
機械学習では、データは高次元ベクトルとして表現されます。画像はピクセル値のベクトル、テキストは単語埋め込みベクトル、音声は周波数成分のベクトルです。
類似度計算と検索
コサイン類似度（内積に基づく）は推薦システム、情報検索、自然言語処理で広く使用されています。ベクトルデータベースは現代AIシステムの基盤となっています。
ニューラルネットワークとベクトル演算
深層学習の全ての操作はベクトルと行列の演算です。GPUの並列処理能力はベクトル演算に最適化されており、AI革命のハードウェア基盤を提供しています。
ゲーム開発
- • キャラクターの移動と回転
- • 物理シミュレーション（重力、衝突）
- • カメラ制御とビュー変換
- • AI経路探索アルゴリズム
ロボット工学
- • ロボットアームの逆運動学
- • センサーデータ融合
- • 経路計画と障害回避
- • 姿勢制御とバランス
データサイエンス
- • 主成分分析（PCA）
- • クラスタリングアルゴリズム
- • 次元減少技法
- • 特徴ベクトル分析
金融工学
- • ポートフォリオ最適化
- • リスクベクトル分析
- • 相関行列
- • デリバティブ価格モデル
量子コンピューティングとベクトル
量子状態は複素ベクトルとして表現され、量子ゲートはユニタリ行列として動作します。量子コンピューティングの全ての操作がベクトル空間で行われるため、ベクトル数学は量子情報科学の中核言語となっています。
大規模言語モデル（LLM）
GPTやBERTのような大規模言語モデルは数十億次元のベクトル空間で動作します。単語、文、文書は全て高次元ベクトルとして表現され、意味的関係の数学的計算が可能になります。
メタバースと仮想現実
メタバースやVR/AR技術の3D環境は全てベクトル数学に基づいています。リアルタイムレンダリング、空間トラッキング、触覚フィードバックなど関連技術はベクトル計算の進歩と共に発展しています。
学習アドバイス
- • 2D/3D可視化で幾何学的直感を養う
- • 物理問題を通じてベクトルの真の意味を理解
- • プログラミングでベクトル演算を直接実装
- • 線形代数と関連付けて体系的に学習