최대공약수/최소공배수 계산기
두 개 이상의 수의 최대공약수(GCD)와 최소공배수(LCM)를 계산합니다.
입력 형식
- • 쉼표로 구분: 12, 18, 24
- • 공백으로 구분: 12 18 24
- • 줄바꿈으로 구분: 각 숫자를 새 줄에 입력
- • 양의 정수만 입력 가능
최대공약수 (GCD)
두 수를 모두 나누는 수 중 가장 큰 수
GCD(a, b) × LCM(a, b) = a × b
유클리드 호제법으로 계산
최소공배수 (LCM)
두 수의 공통 배수 중 가장 작은 수
LCM(a, b) = (a × b) / GCD(a, b)
분수의 통분에 사용
실생활 활용
GCD 활용
- • 분수 약분
- • 타일 배치 문제
- • 암호학
LCM 활용
- • 분수 통분
- • 주기 문제
- • 스케줄링
수론의 역사와 발전
최대공약수와 최소공배수는 고대 그리스 시대부터 연구된 수론의 기본 개념입니다. 유클리드의 『원론』(기원전 300년경)에서 처음 체계적으로 다뤄졌으며, 현재까지도 수학, 컴퓨터 과학, 암호학 등 다양한 분야에서 핵심적인 역할을 합니다.
고대 수학자들의 기여
- • 유클리드: 호제법 알고리즘 개발
- • 디오판토스: 부정방정식 연구
- • 페르마: 소수 이론 발전
- • 가우스: 합동식 이론 정립
- • 오일러: 수론 함수 연구
현대적 응용
- • 암호학: RSA 암호화 알고리즘
- • 컴퓨터 과학: 해시 함수, 의사난수
- • 음악 이론: 화음과 리듬 분석
- • 공학: 신호 처리, 주기 분석
- • 생물학: 유전자 서열 분석
유클리드 호제법의 원리와 확장
기본 유클리드 호제법
이 알고리즘의 시간 복잡도는 O(log min(a, b))로 매우 효율적입니다.
확장 유클리드 호제법
이는 모듈러 역원을 구하는 데 사용되며, RSA 암호화의 핵심 요소입니다.
암호학에서의 응용
RSA 암호화
키 생성: 두 큰 소수 p, q 선택
모듈러스: n = p × q
오일러 파이: φ(n) = (p-1)(q-1)
공개키: gcd(e, φ(n)) = 1인 e 선택
개인키: ed ≡ 1 (mod φ(n))인 d 계산
디피-헬만 키 교환
원리: 이산 로그 문제의 어려움 이용
공개 매개변수: 소수 p와 생성원 g
개인키: 각자 비밀 수 a, b 선택
공개키: g^a mod p, g^b mod p 교환
공유 비밀: g^(ab) mod p 계산
컴퓨터 과학에서의 활용
알고리즘 설계
- • 해시 테이블 크기 결정
- • 의사난수 생성기
- • 순환 중복 검사 (CRC)
- • 분할 정복 알고리즘
- • 동적 프로그래밍
데이터 구조
- • 해시 함수 설계
- • 블룸 필터
- • 스킵 리스트
- • 트리 균형 유지
- • 캐시 최적화
병렬 처리
- • 작업 분할 전략
- • 동기화 주기
- • 메모리 접근 패턴
- • 로드 밸런싱
- • 분산 시스템 설계
실생활 문제 해결
일정 관리
반복 일정: 여러 주기가 겹치는 날 찾기
교대 근무: 최적의 근무 스케줄 설계
회의 시간: 모든 참석자가 가능한 시간
배송 최적화: 효율적인 배송 루트
자원 배분
포장 문제: 최소 포장 단위 계산
재료 구매: 최적의 구매 수량
팀 구성: 균등한 팀 분할
예산 배분: 비례적 자원 분배
고급 수론 개념
수론 함수들
오일러 파이 함수 φ(n)
n과 서로소인 n 이하 양의 정수의 개수
뫼비우스 함수 μ(n)
포함-배제 원리의 수론적 일반화
약수 함수 d(n)
n의 양의 약수의 개수
약수의 합 함수 σ(n)
n의 모든 양의 약수의 합
최적화와 성능
알고리즘 최적화
- • 이진 GCD 알고리즘 (Stein's algorithm)
- • 병렬 GCD 계산
- • 큰 수에 대한 효율적 구현
- • 메모이제이션 활용
- • 하드웨어 가속 (GPU 활용)
실무 고려사항
- • 오버플로우 방지
- • 부동소수점 오차 처리
- • 메모리 사용량 최적화
- • 캐시 친화적 구현
- • 예외 상황 처리
🔢 수론 학습 가이드
• 기초 다지기: 소수, 합성수, 소인수분해 등 기본 개념을 확실히 이해하세요.
• 알고리즘 구현: 유클리드 호제법을 직접 프로그래밍해보며 동작 원리를 체득하세요.
• 응용 문제: 실제 문제에 GCD/LCM을 적용해보며 문제 해결 능력을 기르세요.
• 심화 학습: 확장 유클리드 호제법, 중국인의 나머지 정리 등으로 확장하세요.