GCD/LCM Calculator
Bereken de grootste gemene deler (GGD) en het kleinste gemene veelvoud (KGV) van twee of meer getallen.
Invoerformaat
- • Komma gescheiden: 12, 18, 24
- • Spatie gescheiden: 12 18 24
- • Regel gescheiden: voer elk getal op een nieuwe regel in
- • Alleen positieve gehele getallen toegestaan
Grootste Gemene Deler (GGD)
Het grootste getal dat beide getallen deelt
GGD(a, b) × KGV(a, b) = a × b
Berekend met behulp van het Euclidische algoritme
Kleinste Gemene Veelvoud (KGV)
Het kleinste gemene veelvoud van twee getallen
KGV(a, b) = (a × b) / GGD(a, b)
Gebruikt voor breukoptelling
Praktijkvoorbeelden
GGD Toepassingen
- • Breukvereenvoudiging
- • Tegellegproblemen
- • Cryptografie
KGV Toepassingen
- • Breukoptelling
- • Cyclusproblemen
- • Planning
Geschiedenis en ontwikkeling van de getaltheorie
De grootste gemene deler en het kleinste gemene veelvoud zijn fundamentele concepten in de getaltheorie die sinds het oude Griekenland zijn bestudeerd. Ze werden voor het eerst systematisch behandeld in Euclides' 'Elementen' (rond 300 v.Chr.) en spelen vandaag de dag nog steeds een cruciale rol in de wiskunde, informatica, cryptografie en diverse andere gebieden.
Bijdragen van oude wiskundigen
- • Euclides: Ontwikkelde het Euclidische algoritme
- • Diophantus: Bestudeerde Diophantische vergelijkingen
- • Fermat: Geavanceerde priemgetaltheorie
- • Gauss: Stelde de congruentietheorie op
- • Euler: Bestudeerde getaltheoriefuncties
Moderne toepassingen
- • Cryptografie: RSA-encryptiealgoritme
- • Informatica: Hashfuncties, pseudowillekeurige getallen
- • Muziektheorie: Harmonie- en ritmeanalyse
- • Techniek: Signaalverwerking, periodieke analyse
- • Biologie: Genoomsequentieanalyse
Principes en uitbreidingen van het Euclidische algoritme
Basis Euclidisch algoritme
Dit algoritme heeft een tijdscomplexiteit van O(log min(a, b)), waardoor het zeer efficiënt is.
Uitgebreid Euclidisch algoritme
Dit wordt gebruikt om modulaire inversen te vinden en is een kerncomponent van RSA-encryptie.
Toepassingen in cryptografie
RSA-encryptie
Sleutelgeneratie: Kies twee grote priemgetallen p, q
Modulus: n = p × q
Euler's totient: φ(n) = (p-1)(q-1)
Publieke sleutel: Kies e zodanig dat ggd(e, φ(n)) = 1
Privésleutel: Bereken d zodanig dat ed ≡ 1 (mod φ(n))
Diffie-Hellman Sleuteluitwisseling
Principe: Gebruikt de moeilijkheid van het discrete logaritme probleem
Publieke parameters: Priemgetal p en generator g
Privésleutels: Elke partij kiest geheime getallen a, b
Publieke sleutels: Wissel g^a mod p, g^b mod p uit
Gedeeld geheim: Bereken g^(ab) mod p
Toepassingen in de informatica
Algoritmeontwerp
- • Hash-tabelgrootte bepaling
- • Pseudowillekeurige getallengeneratoren
- • Cyclic Redundancy Check (CRC)
- • Divide and conquer algoritmen
- • Dynamische programmering
Gegevensstructuren
- • Hashfunctie-ontwerp
- • Bloom-filters
- • Skip-lijsten
- • Boombalancering
- • Cache-optimalisatie
Parallelle verwerking
- • Werkverdelingsstrategieën
- • Synchronisatieperioden
- • Geheugentoegangspatronen
- • Load balancing
- • Ontwerp van gedistribueerde systemen
Probleemoplossing in het dagelijks leven
Schema Beheer
Terugkerende schema's: Overlappende dagen van meerdere cycli vinden
Ploegendienst: Optimaal werkschema-ontwerp
Vergaderingstijden: Tijden vinden die voor alle deelnemers beschikbaar zijn
Leveringsoptimalisatie: Efficiënte leveringsroutes
Toewijzing van middelen
Verpakkingsproblemen: Minimale verpakkingseenheden berekenen
Materiaalaankoop: Optimale aankoophoeveelheden
Teamindeling: Gelijke teamindeling
Proportionele middelenverdeling
Geavanceerde getaltheorie concepten
Getaltheorie functies
Euler's totientfunctie φ(n)
Aantal positieve gehele getallen ≤ n die copriem zijn met n
Möbius-functie μ(n)
Getaltheoretische generalisatie van het inclusie-exclusieprincipe
Delerfunctie d(n)
Aantal positieve delers van n
Som van delers functie σ(n)
Som van alle positieve delers van n
Optimalisatie en prestaties
Algoritmeoptimalisatie
- • Binair GGD-algoritme (Stein's algoritme)
- • Parallelle GGD-berekening
- • Efficiënte implementatie voor grote getallen
- • Memoization benutting
- • Hardwareversnelling (GPU-benutting)
Praktische overwegingen
- • Overflow-preventie
- • Drijvende-kommafoutafhandeling
- • Geheugengebruikoptimalisatie
- • Cache-vriendelijke implementatie
- • Uitzonderingsafhandeling
🔢 Studiegids Getaltheorie
• Bouw fundamenten: Begrijp grondig basisconcepten zoals priemgetallen, samengestelde getallen en priemfactorisatie.
• Algoritme-implementatie: Programmeer zelf het Euclidische algoritme om de werkingsprincipes te begrijpen.
• Toegepaste problemen: Pas GGD/KGV toe op echte problemen om probleemoplossende vaardigheden te ontwikkelen.
• Gevorderde studie: Breid uit naar het uitgebreide Euclidische algoritme, Chinese reststelling, etc.