EBOB/EKOK Hesaplayıcı
İki veya daha fazla sayının En Büyük Ortak Bölenini (EBOB) ve En Küçük Ortak Katını (EKOK) hesaplayın.
Giriş Formatı
- • Virgülle ayrılmış: 12, 18, 24
- • Boşlukla ayrılmış: 12 18 24
- • Satırla ayrılmış: her sayıyı yeni bir satıra girin
- • Yalnızca pozitif tam sayılara izin verilir
En Büyük Ortak Bölen (EBOB)
Her iki sayıyı da bölen en büyük sayı
EBOB(a, b) × EKOK(a, b) = a × b
Öklid algoritması kullanılarak hesaplanır
En Küçük Ortak Kat (EKOK)
İki sayının en küçük ortak katı
EKOK(a, b) = (a × b) / EBOB(a, b)
Kesir toplaması için kullanılır
Gerçek Hayat Uygulamaları
EBOB Uygulamaları
- • Kesir sadeleştirme
- • Fayans düzenleme problemleri
- • Kriptografi
EKOK Uygulamaları
- • Kesir toplama
- • Döngü problemleri
- • Zamanlama
Sayı Teorisinin Tarihi ve Gelişimi
En Büyük Ortak Bölen ve En Küçük Ortak Kat, antik Yunan'dan beri incelenen sayı teorisinin temel kavramlarıdır. İlk olarak Öklid'in 'Elementler'inde (MÖ 300 civarı) sistematik olarak ele alınmış ve günümüzde matematik, bilgisayar bilimi, kriptografi ve diğer çeşitli alanlarda kritik bir rol oynamaya devam etmektedir.
Antik Matematikçilerin Katkıları
- • Öklid: Öklid algoritmasını geliştirdi
- • Diophantus: Diofant denklemlerini inceledi
- • Fermat: Asal sayı teorisini ilerletti
- • Gauss: Kongrüans teorisini kurdu
- • Euler: Sayı teorisi fonksiyonlarını inceledi
Modern Uygulamalar
- • Kriptografi: RSA şifreleme algoritması
- • Bilgisayar Bilimi: Hash fonksiyonları, sözde rastgele sayılar
- • Müzik Teorisi: Armoni ve ritim analizi
- • Mühendislik: Sinyal işleme, periyodik analiz
- • Biyoloji: Gen dizisi analizi
Öklid Algoritmasının İlkeleri ve Uzantıları
Temel Öklid Algoritması
Bu algoritma, O(log min(a, b)) zaman karmaşıklığına sahiptir ve bu da onu çok verimli kılar.
Genişletilmiş Öklid Algoritması
Bu, modüler tersleri bulmak için kullanılır ve RSA şifrelemesinin temel bir bileşenidir.
Kriptografide Uygulamalar
RSA Şifrelemesi
Anahtar üretimi: İki büyük asal sayı p, q seçin
Modül: n = p × q
Euler'in totient fonksiyonu: φ(n) = (p-1)(q-1)
Açık anahtar: ebob(e, φ(n)) = 1 olacak şekilde e seçin
Gizli anahtar: ed ≡ 1 (mod φ(n)) olacak şekilde d hesaplayın
Diffie-Hellman Anahtar Değişimi
Prensip: Ayrık logaritma probleminin zorluğunu kullanır
Açık parametreler: Asal p ve üreteç g
Gizli anahtarlar: Her taraf gizli sayılar a, b seçer
Açık anahtarlar: g^a mod p, g^b mod p değişimi
Paylaşılan gizli: g^(ab) mod p hesaplayın
Bilgisayar Biliminde Uygulamalar
Algoritma Tasarımı
- • Hash tablosu boyutu belirleme
- • Sözde rastgele sayı üreteçleri
- • Döngüsel Artıklık Kontrolü (CRC)
- • Böl ve yönet algoritmaları
- • Dinamik programlama
Veri Yapıları
- • Hash fonksiyonu tasarımı
- • Bloom filtreleri
- • Atlama listeleri
- • Ağaç dengeleme
- • Önbellek optimizasyonu
Paralel İşleme
- • İş bölümü stratejileri
- • Senkronizasyon periyotları
- • Bellek erişim desenleri
- • Yük dengeleme
- • Dağıtılmış sistem tasarımı
Gerçek Hayat Problem Çözme
Zamanlama Yönetimi
Tekrarlayan programlar: Birden fazla döngünün çakışan günlerini bulma
Vardiyalı çalışma: Optimal çalışma programı tasarımı
Toplantı zamanları: Tüm katılımcılar için uygun zamanları bulma
Teslimat optimizasyonu: Verimli teslimat rotaları
Kaynak Tahsisi
Paketleme problemleri: Minimum paketleme birimlerini hesaplama
Malzeme satın alma: Optimal satın alma miktarları
Takım kompozisyonu: Eşit takım bölümü
Bütçe tahsisi: Orantılı kaynak dağıtımı
İleri Sayı Teorisi Kavramları
Sayı Teorisi Fonksiyonları
Euler'in totient fonksiyonu φ(n)
n'ye göre asal olan n'den küçük veya eşit pozitif tam sayıların sayısı
Möbius fonksiyonu μ(n)
Dahil etme-hariç tutma ilkesinin sayı teorik genellemesi
Bölen fonksiyonu d(n)
n'nin pozitif bölenlerinin sayısı
Bölenlerin toplamı fonksiyonu σ(n)
n'nin tüm pozitif bölenlerinin toplamı
Optimizasyon ve Performans
Algoritma Optimizasyonu
- • İkili EBOB algoritması (Stein algoritması)
- • Paralel EBOB hesaplaması
- • Büyük sayılar için verimli uygulama
- • Memoizasyon kullanımı
- • Donanım hızlandırma (GPU kullanımı)
Pratik Hususlar
- • Taşma önleme
- • Kayan nokta hata yönetimi
- • Bellek kullanım optimizasyonu
- • Önbellek dostu uygulama
- • İstisna işleme
🔢 Sayı Teorisi Çalışma Rehberi
• Temelleri oluşturun: Asal sayılar, bileşik sayılar ve asal çarpanlara ayırma gibi temel kavramları iyice anlayın.
• Algoritma uygulaması: Çalışma prensiplerini anlamak için Öklid algoritmasını kendiniz programlayın.
• Uygulamalı problemler: Problem çözme becerilerini geliştirmek için EBOB/EKOK'u gerçek problemlere uygulayın.
• İleri düzey çalışma: Genişletilmiş Öklid Algoritması, Çin Kalan Teoremi vb. konulara geçin.