最大公约数/最小公倍数计算器
计算两个或多个数的最大公约数 (GCD) 和最小公倍数 (LCM)。
输入格式
- • 逗号分隔: 12, 18, 24
- • 空格分隔: 12 18 24
- • 换行分隔: 每行输入一个数字
- • 只允许正整数
最大公约数 (GCD)
能同时整除两个数的最大数
GCD(a, b) × LCM(a, b) = a × b
使用欧几里得算法计算
最小公倍数 (LCM)
两个数的最小公倍数
LCM(a, b) = (a × b) / GCD(a, b)
用于分数加法
实际应用
GCD 应用
- • 分数化简
- • 瓷砖排列问题
- • 密码学
LCM 应用
- • 分数加法
- • 周期问题
- • 日程安排
数论的历史与发展
最大公约数和最小公倍数是数论的基本概念，自古希腊以来就已得到研究。它们最早在欧几里得的《几何原本》（约公元前300年）中得到系统阐述，至今仍在数学、计算机科学、密码学等各个领域发挥着至关重要的作用。
古代数学家的贡献
- • 欧几里得：发展了欧几里得算法
- • 丢番图：研究丢番图方程
- • 费马：推进了素数理论
- • 高斯：建立了同余理论
- • 欧拉：研究了数论函数
现代应用
- • 密码学：RSA加密算法
- • 计算机科学：哈希函数、伪随机数
- • 音乐理论：和声与节奏分析
- • 工程学：信号处理、周期分析
- • 生物学：基因序列分析
欧几里得算法的原理与扩展
基本欧几里得算法
该算法的时间复杂度为O(log min(a, b))，非常高效。
扩展欧几里得算法
用于求模逆元，是RSA加密的核心组成部分。
在密码学中的应用
RSA加密
密钥生成：选择两个大素数p, q
模数：n = p × q
欧拉函数：φ(n) = (p-1)(q-1)
公钥：选择e使得gcd(e, φ(n)) = 1
私钥：计算d使得ed ≡ 1 (mod φ(n))
迪菲-赫尔曼密钥交换
原理：利用离散对数问题的难度
公共参数：素数p和生成元g
私钥：各方选择秘密数a, b
公钥：交换g^a mod p, g^b mod p
共享密钥：计算g^(ab) mod p
在计算机科学中的应用
算法设计
- • 哈希表大小确定
- • 伪随机数生成器
- • 循环冗余校验 (CRC)
- • 分治算法
- • 动态规划
数据结构
- • 哈希函数设计
- • 布隆过滤器
- • 跳表
- • 树平衡
- • 缓存优化
并行处理
- • 工作划分策略
- • 同步周期
- • 内存访问模式
- • 负载均衡
- • 分布式系统设计
现实生活问题解决
日程管理
重复日程：寻找多个周期的重叠日
轮班工作：优化工作日程设计
会议时间：寻找所有参与者都有空的时间
配送优化：高效的配送路线
资源分配
包装问题：计算最小包装单位
材料采购：优化采购数量
团队组成：平均团队划分
预算分配：按比例分配资源
高级数论概念
数论函数
欧拉函数 φ(n)
小于等于n且与n互质的正整数个数
莫比乌斯函数 μ(n)
容斥原理的数论推广
除数函数 d(n)
n的正除数个数
除数和函数 σ(n)
n的所有正除数之和
优化与性能
算法优化
- • 二进制GCD算法（Stein算法）
- • 并行GCD计算
- • 大数的高效实现
- • 记忆化利用
- • 硬件加速（GPU利用）
实际考虑
- • 溢出预防
- • 浮点误差处理
- • 内存使用优化
- • 缓存友好实现
- • 异常处理
🔢 数论学习指南
• 打好基础：彻底理解素数、合数、质因数分解等基本概念。
• 算法实现：亲自编写欧几里得算法，理解其工作原理。
• 应用问题：将GCD/LCM应用于实际问题，培养解决问题的能力。
• 高级学习：扩展到扩展欧几里得算法、中国剩余定理等。