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排列/组合计算器

计算排列 (P) 和组合 (C) 并提供分步解答

输入值
计算从 n 个项目中选择 r 个项目的方法数

P(n, r) = ?

从 n 个项目中选择 r 个项目，考虑顺序

排列与组合

排列

P(n, r) = n! / (n - r)!

当顺序重要时

例如，ABC, ACB, BAC 都是不同的

组合

C(n, r) = n! / (r! × (n - r)!)

当顺序不重要时

例如，ABC, ACB, BAC 都是相同的

现实生活中的例子

排列示例

  • • 创建密码
  • • 确定比赛中的第一、二、三名
  • • 座位安排

组合示例

  • • 团队组建
  • • 菜单选择
  • • 委员会组建
组合学的历史与现代应用

组合学的历史发展

组合学起源于古印度和中国，现已发展成为现代数学的核心领域。从帕斯卡三角形和二项式定理到现代图论和密码学，组合学在数学和计算机科学的发展中发挥了至关重要的作用。

古代与中世纪

  • • 印度（公元前2世纪）：Pingala的二项式系数
  • • 中国（11世纪）：杨辉三角
  • • 伊斯兰世界（12世纪）：Al-Karaji的组合学
  • • 欧洲（13世纪）：斐波那契的组合问题

现代

  • • 帕斯卡（17世纪）：连接概率与组合学
  • • 欧拉（18世纪）：生成函数理论
  • • 20世纪：图论、设计理论
  • • 现代：与计算机科学的整合

与概率论的联系

基本概率计算

古典概率：P(A) = 有利结果数 / 总结果数:

排列概率：与顺序相关的事件的概率:

组合概率：与顺序无关的事件的概率:

条件概率：特定条件下的概率:

实际应用示例

纸牌游戏：计算扑克牌型的概率:

彩票：计算中奖概率:

质量控制：样本检验概率:

遗传学：基因组合概率:

🎯 组合学掌握策略

• 问题分类：首先确定顺序的重要性以区分排列/组合。:

• 分步法：将复杂问题分解为更小的单元。:

• 利用对称性：寻找问题的对称性以简化计算。:

• 实际应用：将组合学应用于日常问题以建立直觉。:

• 编程实践：通过编码实现组合算法。:

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