Máy tính số phức
Tính toán cộng, trừ, nhân và chia các số phức.
(a + bi) + (c + di)
Phép cộng và trừ
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i
Phép nhân và chia
(a + bi) × (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
(a + bi) ÷ (c + di) = [(ac + bd) + (bc - ad)i] / (c² + d²)
Tính chất cơ bản của số phức
- i² = -1 (bình phương của đơn vị ảo)
- Số phức liên hợp: liên hợp của a + bi là a - bi
- Môđun: |a + bi| = √(a² + b²)
- Phép chia: nhân tử và mẫu với liên hợp của mẫu số
Khám phá và phát triển số phức
Số phức được các nhà toán học Italia khám phá vào thế kỷ 16 khi giải phương trình bậc ba. Ban đầu được gọi là "số ảo" và được coi là không tồn tại, giờ đây chúng đóng vai trò quan trọng trong vật lý, kỹ thuật, khoa học máy tính và nhiều lĩnh vực khác.
Phát triển lịch sử
- • 1545: Lần đầu được Cardano đề cập
- • 1637: Descartes đặt ra thuật ngữ "ảo"
- • 1748: Euler giới thiệu ký hiệu i
- • 1797: Gauss giới thiệu khái niệm mặt phẳng phức
- • 1831: Gauss đặt ra thuật ngữ "số phức"
Các nhà toán học chủ chốt
- • Euler: Công thức e^(iπ) + 1 = 0
- • Gauss: Mặt phẳng phức và định lý cơ bản
- • Hamilton: Khám phá quaternion
- • Riemann: Phát triển lý thuyết hàm phức
- • Cauchy: Lý thuyết tích phân phức
Giải thích hình học của số phức
Mặt phẳng phức (Mặt phẳng Gauss)
Trục thực: trục ngang (trục x)
Trục ảo: trục dọc (trục y)
Số phức z = a + bi: điểm (a, b)
Môđun: khoảng cách từ gốc |z| = √(a² + b²)
Đối số: góc với trục thực θ
Biểu diễn dạng cực
Dạng cực: z = r(cos θ + i sin θ)
Công thức Euler: e^(iθ) = cos θ + i sin θ
Dạng mũ: z = re^(iθ)
Phép nhân: nhân môđun và cộng đối số
Lũy thừa: áp dụng định lý De Moivre
Số phức trong Vật lý
Kỹ thuật điện
- • Phân tích mạch AC
- • Tính toán trở kháng
- • Biểu diễn quan hệ pha
- • Tính toán công suất
- • Thiết kế bộ lọc
Cơ học lượng tử
- • Biểu diễn hàm sóng
- • Phương trình Schrödinger
- • Biên độ xác suất
- • Chồng chất trạng thái lượng tử
- • Nguyên lý bất định
Xử lý tín hiệu
- • Biến đổi Fourier
- • Phân tích miền tần số
- • Bộ lọc số
- • Xử lý âm thanh
- • Xử lý hình ảnh
Ứng dụng trong Khoa học Máy tính
Đồ họa máy tính
Xoay 2D: thực hiện phép xoay bằng phép nhân số phức
Fractals: tập Mandelbrot, tập Julia
Hoạt hình: xoay và biến đổi mượt mà
Xử lý màu: chuyển đổi không gian màu HSV
Phát triển trò chơi: chuyển động và xoay nhân vật
Thuật toán
FFT: Biến đổi Fourier nhanh
Phép nhân đa thức: tính toán hiệu quả
Tìm kiếm chuỗi: thuật toán Rabin-Karp
Phân tích số: thuật toán tìm nghiệm
Mật mã học: mật mã đường cong elliptic
Hàm phức và Phân tích
Đặc điểm của hàm phức
Hàm giải tích
- • Thỏa mãn phương trình Cauchy-Riemann
- • Khả vi vô hạn
- • Có thể biểu diễn bằng chuỗi Taylor
- • Nguyên lý cực đại đúng
Tích phân phức
- • Định lý tích phân Cauchy
- • Định lý thặng dư
- • Độc lập đường đi
- • Ứng dụng vào tích phân thực
Số phức trong Công nghệ hiện đại
Công nghệ truyền thông
- • Truyền thông không dây 5G/6G
- • Điều chế OFDM
- • Thiết kế anten
- • Cân bằng kênh
- • Hệ thống radar
Trí tuệ nhân tạo
- • Trọng số mạng nơ-ron
- • Tối ưu hóa học sâu
- • Thị giác máy tính
- • Xử lý ngôn ngữ tự nhiên
- • Điện toán lượng tử
Kỹ thuật tài chính
- • Mô hình định giá quyền chọn
- • Quản lý rủi ro
- • Tối ưu hóa danh mục đầu tư
- • Định giá phái sinh
- • Giao dịch thuật toán
🔬 Mẹo học số phức
• Trực giác hình học: Trực quan hóa số phức dưới dạng các điểm trên mặt phẳng phức giúp các phép toán dễ hiểu hơn.
• Sử dụng công thức Euler: e^(iθ) = cos θ + i sin θ kết nối các hàm lượng giác và hàm mũ.
• Tìm các ứng dụng thực tế: Nghiên cứu cách số phức được sử dụng trong mạch điện, xử lý tín hiệu và các vấn đề thực tế khác.
• Thực hành lập trình: Triển khai các phép toán số phức trong Python, MATLAB, v.v. giúp hiểu sâu hơn.