เครื่องคำนวณจำนวนเชิงซ้อน

คำนวณการบวก ลบ คูณ และหารของจำนวนเชิงซ้อน

การป้อนข้อมูลจำนวนเชิงซ้อน

ป้อนจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบ a + bi

จำนวนเชิงซ้อนแรก

จำนวนเชิงซ้อนที่สอง

เลือกการดำเนินการ

(a + bi) + (c + di)

สูตรการดำเนินการจำนวนเชิงซ้อน

การบวกและการลบ

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i

การคูณและการหาร

(a + bi) × (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

(a + bi) ÷ (c + di) = [(ac + bd) + (bc - ad)i] / (c² + d²)

คุณสมบัติพื้นฐานของจำนวนเชิงซ้อน

i² = -1 (กำลังสองของหน่วยจินตภาพ)
สังยุคเชิงซ้อน: สังยุคของ a + bi คือ a - bi
โมดูลัส: |a + bi| = √(a² + b²)
สำหรับการหาร ให้คูณตัวเศษและตัวส่วนด้วยสังยุคของตัวส่วน

ประวัติและแอปพลิเคชันสมัยใหม่ของจำนวนเชิงซ้อน

การค้นพบและการพัฒนาจำนวนเชิงซ้อน

จำนวนเชิงซ้อนถูกค้นพบโดยนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีในศตวรรษที่ 16 ขณะที่กำลังแก้สมการกำลังสาม เดิมเรียกว่า "จำนวนจินตภาพ" และถือว่าไม่มีอยู่จริง แต่ปัจจุบันมีบทบาทสำคัญในฟิสิกส์ วิศวกรรมศาสตร์ วิทยาการคอมพิวเตอร์ และอีกหลายสาขา

การพัฒนาทางประวัติศาสตร์

• 1545: Cardano กล่าวถึงเป็นครั้งแรก
• 1637: Descartes บัญญัติศัพท์ "จินตภาพ"
• 1748: Euler แนะนำสัญลักษณ์ i
• 1797: Gauss แนะนำแนวคิดระนาบเชิงซ้อน
• 1831: Gauss บัญญัติศัพท์ "จำนวนเชิงซ้อน"

นักคณิตศาสตร์คนสำคัญ

• Euler: สูตร e^(iπ) + 1 = 0
• Gauss: ระนาบเชิงซ้อนและทฤษฎีบทพื้นฐาน
• Hamilton: การค้นพบควอเทอร์เนียน
• Riemann: การพัฒนาทฤษฎีฟังก์ชันเชิงซ้อน
• Cauchy: ทฤษฎีการอินทิเกรตเชิงซ้อน

การตีความทางเรขาคณิตของจำนวนเชิงซ้อน

ระนาบเชิงซ้อน (ระนาบ Gaussian)

แกนจริง: แกนนอน (แกน x)

แกนจินตภาพ: แกนตั้ง (แกน y)

จำนวนเชิงซ้อน z = a + bi: จุด (a, b)

โมดูลัส: ระยะห่างจากจุดกำเนิด |z| = √(a² + b²)

อาร์กิวเมนต์: มุมกับแกนจริง θ

การแสดงผลในรูปเชิงขั้ว

รูปเชิงขั้ว: z = r(cos θ + i sin θ)

สูตรของ Euler: e^(iθ) = cos θ + i sin θ

รูปเลขชี้กำลัง: z = re^(iθ)

การคูณ: คูณโมดูลัสและบวกอาร์กิวเมนต์

กำลัง: ใช้ทฤษฎีบทของ De Moivre

จำนวนเชิงซ้อนในฟิสิกส์

วิศวกรรมไฟฟ้า

• การวิเคราะห์วงจร AC
• การคำนวณอิมพีแดนซ์
• การแสดงความสัมพันธ์เฟส
• การคำนวณกำลัง
• การออกแบบฟิลเตอร์

กลศาสตร์ควอนตัม

• การแสดงผลฟังก์ชันคลื่น
• สมการชโรดิงเงอร์
• แอมพลิจูดความน่าจะเป็น
• การซ้อนทับสถานะควอนตัม
• หลักการความไม่แน่นอน

การประมวลผลสัญญาณ

• การแปลงฟูเรียร์
• การวิเคราะห์โดเมนความถี่
• ฟิลเตอร์ดิจิทัล
• การประมวลผลเสียง
• การประมวลผลภาพ

การประยุกต์ใช้ในวิทยาการคอมพิวเตอร์

คอมพิวเตอร์กราฟิกส์

การหมุน 2D: การนำการหมุนไปใช้โดยใช้การคูณเชิงซ้อน

แฟร็กทัล: เซต Mandelbrot, เซต Julia

แอนิเมชัน: การหมุนและการแปลงที่ราบรื่น

การประมวลผลสี: การแปลงพื้นที่สี HSV

การพัฒนาเกม: การเคลื่อนที่และการหมุนของตัวละคร

อัลกอริทึม

FFT: การแปลงฟูเรียร์อย่างรวดเร็ว

การคูณพหุนาม: การคำนวณที่มีประสิทธิภาพ

การจับคู่สตริง: อัลกอริทึม Rabin-Karp

การวิเคราะห์เชิงตัวเลข: อัลกอริทึมการหาค่าราก

การเข้ารหัส: การเข้ารหัสแบบวงรี

ฟังก์ชันเชิงซ้อนและการวิเคราะห์

ลักษณะของฟังก์ชันเชิงซ้อน

ฟังก์ชันวิเคราะห์

• เป็นไปตามสมการ Cauchy-Riemann
• สามารถหาอนุพันธ์ได้ไม่จำกัด
• สามารถแสดงด้วยอนุกรม Taylor
• หลักการสูงสุดเป็นจริง

การอินทิเกรตเชิงซ้อน

• ทฤษฎีบทการอินทิเกรตของ Cauchy
• ทฤษฎีบทส่วนตกค้าง
• ความเป็นอิสระของเส้นทาง
• การประยุกต์ใช้กับการอินทิเกรตจริง

จำนวนเชิงซ้อนในเทคโนโลยีสมัยใหม่

เทคโนโลยีการสื่อสาร

• การสื่อสารไร้สาย 5G/6G
• การมอดูเลต OFDM
• การออกแบบเสาอากาศ
• การปรับสมดุลช่องสัญญาณ
• ระบบเรดาร์

ปัญญาประดิษฐ์

• น้ำหนักเครือข่ายประสาท
• การเพิ่มประสิทธิภาพการเรียนรู้เชิงลึก
• คอมพิวเตอร์วิทัศน์
• การประมวลผลภาษาธรรมชาติ
• การคำนวณควอนตัม

วิศวกรรมการเงิน

• แบบจำลองการกำหนดราคาออปชัน
• การจัดการความเสี่ยง
• การเพิ่มประสิทธิภาพพอร์ตโฟลิโอ
• การประเมินมูลค่าอนุพันธ์
• การซื้อขายแบบอัลกอริทึม

🔬 เคล็ดลับการเรียนรู้จำนวนเชิงซ้อน

• สัญชาตญาณทางเรขาคณิต: การแสดงภาพจำนวนเชิงซ้อนเป็นจุดบนระนาบเชิงซ้อนทำให้การดำเนินการเข้าใจง่ายขึ้น
• การใช้สูตรของ Euler: e^(iθ) = cos θ + i sin θ เชื่อมโยงฟังก์ชันตรีโกณมิติและฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
• ค้นหาแอปพลิเคชันจริง: ศึกษาว่าจำนวนเชิงซ้อนถูกนำไปใช้ในวงจรไฟฟ้า การประมวลผลสัญญาณ และปัญหาจริงอื่นๆ อย่างไร
• การฝึกเขียนโปรแกรม: การนำการดำเนินการจำนวนเชิงซ้อนไปใช้ใน Python, MATLAB ฯลฯ ช่วยให้เข้าใจลึกซึ้งยิ่งขึ้น