حاسبة الأعداد المركبة
حساب جمع وطرح وضرب وقسمة الأعداد المركبة.
(a + bi) + (c + di)
الجمع والطرح
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i
الضرب والقسمة
(a + bi) × (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
(a + bi) ÷ (c + di) = [(ac + bd) + (bc - ad)i] / (c² + d²)
الخصائص الأساسية للأعداد المركبة
- i² = -1 (مربع الوحدة التخيلية)
- المرافق المركب: مرافق a + bi هو a - bi
- القيمة المطلقة: |a + bi| = √(a² + b²)
- للقسمة، اضرب البسط والمقام في مرافق المقام
اكتشاف وتطوير الأعداد المركبة
اكتشف علماء الرياضيات الإيطاليون الأعداد المركبة في القرن السادس عشر أثناء حل المعادلات التكعيبية. سُميت في البداية "أعداد تخيلية" واعتُبرت غير موجودة، لكنها تلعب الآن دوراً حاسماً في الفيزياء والهندسة وعلوم الحاسوب ومجالات أخرى كثيرة.
التطوير التاريخي
- • 1545: أول ذكر بواسطة كاردانو
- • 1637: ديكارت صاغ مصطلح "تخيلي"
- • 1748: أويلر قدم الرمز i
- • 1797: غاوس قدم مفهوم المستوى المركب
- • 1831: غاوس صاغ مصطلح "عدد مركب"
علماء الرياضيات الرئيسيون
- • أويلر: صيغة e^(iπ) + 1 = 0
- • غاوس: المستوى المركب والنظرية الأساسية
- • هاميلتون: اكتشاف الرباعيات
- • ريمان: تطوير نظرية الدوال المركبة
- • كوشي: نظرية التكامل المركب
التفسير الهندسي للأعداد المركبة
المستوى المركب (المستوى الغاوسي)
المحور الحقيقي: المحور الأفقي (المحور السيني)
المحور التخيلي: المحور العمودي (المحور الصادي)
العدد المركب z = a + bi: النقطة (a, b)
القيمة المطلقة: المسافة من الأصل |z| = √(a² + b²)
الوسيطة: الزاوية مع المحور الحقيقي θ
التمثيل بالصورة القطبية
الصورة القطبية: z = r(cos θ + i sin θ)
صيغة أويلر: e^(iθ) = cos θ + i sin θ
الصورة الأسية: z = re^(iθ)
الضرب: اضرب القيم المطلقة واجمع الوسائط
القوى: طبق نظرية دي موافر
الأعداد المركبة في الفيزياء
الهندسة الكهربائية
- • تحليل دوائر التيار المتردد
- • حسابات المعاوقة
- • تمثيل العلاقات الطورية
- • حسابات القدرة
- • تصميم المرشحات
ميكانيكا الكم
- • تمثيل الدالة الموجية
- • معادلة شرودنجر
- • سعة الاحتمال
- • تراكب الحالات الكمية
- • مبدأ عدم اليقين
معالجة الإشارات
- • تحويل فورييه
- • تحليل المجال الترددي
- • المرشحات الرقمية
- • معالجة الصوت
- • معالجة الصور
التطبيقات في علوم الحاسوب
رسومات الحاسوب
الدوران ثنائي الأبعاد: تنفيذ الدوران باستخدام ضرب الأعداد المركبة
الكسيريات: مجموعة ماندلبروت، مجموعة جوليا
الرسوم المتحركة: دوران وتحويل سلس
معالجة الألوان: تحويل فضاء الألوان HSV
تطوير الألعاب: حركة ودوران الشخصيات
الخوارزميات
FFT: تحويل فورييه السريع
ضرب كثيرات الحدود: حساب فعال
مطابقة النصوص: خوارزمية رابين-كارب
التحليل العددي: خوارزميات إيجاد الجذور
التشفير: تشفير المنحنى الإهليلجي
الدوال المركبة والتحليل
خصائص الدوال المركبة
الدالة التحليلية
- • تحقق معادلات كوشي-ريمان
- • قابلة للاشتقاق ما لا نهاية
- • قابلة للتمثيل بمتسلسلة تايلور
- • مبدأ القيمة العظمى يحقق
التكامل المركب
- • نظرية تكامل كوشي
- • نظرية البواقي
- • استقلالية المسار
- • تطبيقات على التكامل الحقيقي
الأعداد المركبة في التكنولوجيا الحديثة
تكنولوجيا الاتصالات
- • الاتصالات اللاسلكية 5G/6G
- • تضمين OFDM
- • تصميم الهوائيات
- • معادلة القناة
- • أنظمة الرادار
الذكاء الاصطناعي
- • أوزان الشبكات العصبية
- • تحسين التعلم العميق
- • رؤية الحاسوب
- • معالجة اللغة الطبيعية
- • الحوسبة الكمية
الهندسة المالية
- • نماذج تسعير الخيارات
- • إدارة المخاطر
- • تحسين المحفظة الاستثمارية
- • تقييم المشتقات
- • التداول الخوارزمي
🔬 نصائح تعلم الأعداد المركبة
• الحدس الهندسي: تصور الأعداد المركبة كنقاط على المستوى المركب يجعل العمليات أسهل للفهم.
• استخدام صيغة أويلر: e^(iθ) = cos θ + i sin θ تربط الدوال المثلثية والأسية.
• إيجاد تطبيقات حقيقية: ادرس كيف تُستخدم الأعداد المركبة في الدوائر الكهربائية ومعالجة الإشارات ومشاكل حقيقية أخرى.
• ممارسة البرمجة: تنفيذ عمليات الأعداد المركبة في Python و MATLAB وغيرها يعمق الفهم.