حاسبة القاسم المشترك الأكبر / المضاعف المشترك الأصغر
حساب القاسم المشترك الأكبر (GCD) والمضاعف المشترك الأصغر (LCM) لعددين أو أكثر.
تنسيق الإدخال
- • مفصولة بفواصل: 12، 18، 24
- • مفصولة بمسافات: 12 18 24
- • مفصولة بأسطر: أدخل كل رقم في سطر جديد
- • الأعداد الصحيحة الموجبة فقط مسموحة
القاسم المشترك الأكبر (GCD)
أكبر عدد يقسم كلا العددين
GCD(a, b) × LCM(a, b) = a × b
يُحسب باستخدام خوارزمية أقليدس
المضاعف المشترك الأصغر (LCM)
أصغر مضاعف مشترك لعددين
LCM(a, b) = (a × b) / GCD(a, b)
يُستخدم في جمع الكسور
التطبيقات الحياتية
تطبيقات القاسم المشترك الأكبر
- • تبسيط الكسور
- • مسائل ترتيب البلاط
- • التشفير
تطبيقات المضاعف المشترك الأصغر
- • جمع الكسور
- • مسائل الدورات
- • الجدولة
تاريخ وتطوير نظرية الأعداد
القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر مفاهيم أساسية في نظرية الأعداد تمت دراستها منذ اليونان القديمة. تم تناولها بشكل منهجي لأول مرة في 'الأصول' لأقليدس (حوالي 300 ق.م) وتستمر في لعب دور مهم في الرياضيات وعلوم الحاسوب والتشفير ومجالات أخرى مختلفة اليوم.
مساهمات علماء الرياضيات القدماء
- • أقليدس: طور خوارزمية أقليدس
- • ديوفانتوس: درس معادلات ديوفانتوس
- • فيرما: طور نظرية الأعداد الأولية
- • غاوس: أسس نظرية التطابق
- • أويلر: درس دوال نظرية الأعداد
التطبيقات الحديثة
- • التشفير: خوارزمية تشفير RSA
- • علوم الحاسوب: دوال التجزئة، الأرقام شبه العشوائية
- • نظرية الموسيقى: تحليل التناغم والإيقاع
- • الهندسة: معالجة الإشارات، التحليل الدوري
- • الأحياء: تحليل تسلسل الجينات
مبادئ وتوسيعات خوارزمية أقليدس
خوارزمية أقليدس الأساسية
هذه الخوارزمية لها تعقيد زمني O(log min(a, b))، مما يجعلها فعالة جداً.
خوارزمية أقليدس الممتدة
تُستخدم لإيجاد المعكوسات النمطية وهي مكون أساسي في تشفير RSA.
التطبيقات في التشفير
تشفير RSA
توليد المفاتيح: اختر عددين أوليين كبيرين p، q
المعامل: n = p × q
دالة أويلر: φ(n) = (p-1)(q-1)
المفتاح العام: اختر e بحيث gcd(e, φ(n)) = 1
المفتاح الخاص: احسب d بحيث ed ≡ 1 (mod φ(n))
تبادل مفاتيح ديفي-هيلمان
المبدأ: يستخدم صعوبة مسألة اللوغاريتم المنفصل
المعاملات العامة: العدد الأولي p والمولد g
المفاتيح الخاصة: كل طرف يختار أرقاماً سرية a، b
المفاتيح العامة: تبادل g^a mod p، g^b mod p
السر المشترك: احسب g^(ab) mod p
التطبيقات في علوم الحاسوب
تصميم الخوارزميات
- • تحديد حجم جدول التجزئة
- • مولدات الأرقام شبه العشوائية
- • فحص التكرار الدوري (CRC)
- • خوارزميات فرق تسد
- • البرمجة الديناميكية
هياكل البيانات
- • تصميم دالة التجزئة
- • مرشحات بلوم
- • قوائم التخطي
- • توازن الأشجار
- • تحسين الذاكرة المؤقتة
المعالجة المتوازية
- • استراتيجيات تقسيم العمل
- • فترات التزامن
- • أنماط الوصول للذاكرة
- • توزيع الأحمال
- • تصميم الأنظمة الموزعة
حل المشكلات الحياتية
إدارة الجداول
الجداول المتكررة: العثور على الأيام المتداخلة للدورات المتعددة
العمل بالنوبات: تصميم جدول عمل مثالي
أوقات الاجتماعات: العثور على الأوقات المتاحة لجميع المشاركين
تحسين التسليم: طرق التسليم الفعالة
تخصيص الموارد
مسائل التعبئة: حساب وحدات التعبئة الدنيا
شراء المواد: كميات الشراء المثالية
تكوين الفرق: تقسيم الفرق بالتساوي
تخصيص الميزانية: التوزيع التناسبي للموارد
مفاهيم نظرية الأعداد المتقدمة
دوال نظرية الأعداد
دالة أويلر φ(n)
عدد الأعداد الصحيحة الموجبة ≤ n التي تكون أولية نسبياً مع n
دالة موبيوس μ(n)
تعميم نظرية الأعداد لمبدأ الإدراج-الاستبعاد
دالة القواسم d(n)
عدد القواسم الموجبة للعدد n
دالة مجموع القواسم σ(n)
مجموع جميع القواسم الموجبة للعدد n
التحسين والأداء
تحسين الخوارزميات
- • خوارزمية القاسم المشترك الأكبر الثنائية (خوارزمية ستاين)
- • حساب القاسم المشترك الأكبر المتوازي
- • التنفيذ الفعال للأعداد الكبيرة
- • استخدام التذكير
- • تسريع الأجهزة (استخدام وحدة معالجة الرسومات)
الاعتبارات العملية
- • منع الفيض
- • التعامل مع أخطاء النقطة العائمة
- • تحسين استخدام الذاكرة
- • التنفيذ الصديق للذاكرة المؤقتة
- • التعامل مع الاستثناءات
🔢 دليل دراسة نظرية الأعداد
• بناء الأسس: فهم المفاهيم الأساسية مثل الأعداد الأولية والمركبة والتحليل إلى العوامل الأولية بشكل شامل.
• تنفيذ الخوارزميات: برمج خوارزمية أقليدس بنفسك لفهم مبادئ عملها.
• المسائل التطبيقية: طبق القاسم المشترك الأكبر/المضاعف المشترك الأصغر على مسائل حقيقية لتطوير مهارات حل المشكلات.
• الدراسة المتقدمة: توسع إلى خوارزمية أقليدس الممتدة ونظرية البقايا الصينية وغيرها.