जटिल संख्या कैलकुलेटर

जटिल संख्याओं के जोड़, घटाव, गुणा और भाग की गणना करें।

जटिल संख्या इनपुट

a + bi प्रारूप में जटिल संख्याएँ दर्ज करें

पहली जटिल संख्या

दूसरी जटिल संख्या

ऑपरेशन चुनें

(a + bi) + (c + di)

जटिल संख्या ऑपरेशन सूत्र

जोड़ और घटाव

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i

गुणा और भाग

(a + bi) × (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

(a + bi) ÷ (c + di) = [(ac + bd) + (bc - ad)i] / (c² + d²)

जटिल संख्याओं के बुनियादी गुण

i² = -1 (काल्पनिक इकाई का वर्ग)
जटिल संयुग्मी: a + bi का संयुग्मी a - bi है
मापांक: |a + bi| = √(a² + b²)
भाग के लिए, अंश और हर को हर के संयुग्मी से गुणा करें

जटिल संख्याओं का इतिहास और आधुनिक अनुप्रयोग

जटिल संख्याओं की खोज और विकास

जटिल संख्याओं की खोज 16वीं शताब्दी में इतालवी गणितज्ञों द्वारा घन समीकरणों को हल करते समय की गई थी। शुरू में इन्हें "काल्पनिक संख्याएँ" कहा जाता था और इन्हें अस्तित्वहीन माना जाता था, अब वे भौतिकी, इंजीनियरिंग, कंप्यूटर विज्ञान और कई अन्य क्षेत्रों में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।

ऐतिहासिक विकास

• 1545: कार्डानो द्वारा पहली बार उल्लेख किया गया
• 1637: डेसकार्टेस ने "काल्पनिक" शब्द गढ़ा
• 1748: यूलर ने प्रतीक i पेश किया
• 1797: गॉस ने जटिल तल अवधारणा पेश की
• 1831: गॉस ने "जटिल संख्या" शब्द गढ़ा

मुख्य गणितज्ञ

• यूलर: e^(iπ) + 1 = 0 सूत्र
• गॉस: जटिल तल और मौलिक प्रमेय
• हैमिल्टन: चतुर्भुज की खोज
• रीमैन: जटिल फ़ंक्शन सिद्धांत का विकास
• कॉची: जटिल एकीकरण सिद्धांत

जटिल संख्याओं की ज्यामितीय व्याख्या

जटिल तल (गाऊसी तल)

वास्तविक अक्ष: क्षैतिज अक्ष (x-अक्ष)

काल्पनिक अक्ष: ऊर्ध्वाधर अक्ष (y-अक्ष)

जटिल संख्या z = a + bi: बिंदु (a, b)

मापांक: मूल से दूरी |z| = √(a² + b²)

तर्क: वास्तविक अक्ष θ के साथ कोण

ध्रुवीय रूप प्रतिनिधित्व

ध्रुवीय रूप: z = r(cos θ + i sin θ)

यूलर का सूत्र: e^(iθ) = cos θ + i sin θ

घातीय रूप: z = re^(iθ)

गुणा: मापांक को गुणा करें और तर्कों को जोड़ें

शक्तियाँ: डी मोइवर के प्रमेय को लागू करें

भौतिकी में जटिल संख्याएँ

विद्युत इंजीनियरिंग

• एसी सर्किट विश्लेषण
• प्रतिबाधा गणना
• चरण संबंध प्रतिनिधित्व
• शक्ति गणना
• फ़िल्टर डिज़ाइन

क्वांटम यांत्रिकी

• तरंग फ़ंक्शन प्रतिनिधित्व
• श्रोडिंगर समीकरण
• संभावना आयाम
• क्वांटम स्थिति सुपरपोजिशन
• अनिश्चितता सिद्धांत

सिग्नल प्रोसेसिंग

• फूरियर ट्रांसफॉर्म
• आवृत्ति डोमेन विश्लेषण
• डिजिटल फिल्टर
• ऑडियो प्रोसेसिंग
• छवि प्रोसेसिंग

कंप्यूटर विज्ञान में अनुप्रयोग

कंप्यूटर ग्राफिक्स

2डी रोटेशन: जटिल गुणा का उपयोग करके रोटेशन लागू करना

फ्रैक्टल्स: मैंडेलब्रॉट सेट, जूलिया सेट

एनिमेशन: चिकनी रोटेशन और परिवर्तन

रंग प्रसंस्करण: एचएसवी रंग स्थान रूपांतरण

गेम विकास: चरित्र आंदोलन और रोटेशन

एल्गोरिदम

एफएफटी: फास्ट फूरियर ट्रांसफॉर्म

पॉलीनोमियल गुणा: कुशल गणना

स्ट्रिंग मिलान: रबिन-कार्प एल्गोरिथम

संख्यात्मक विश्लेषण: रूट-फाइंडिंग एल्गोरिदम

क्रिप्टोग्राफी: अण्डाकार वक्र क्रिप्टोग्राफी

जटिल फ़ंक्शन और विश्लेषण

जटिल फ़ंक्शन की विशेषताएँ

विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन

• कॉची-रीमैन समीकरणों को संतुष्ट करता है
• अनंत रूप से भिन्न
• टेलर श्रृंखला द्वारा प्रतिनिधित्व योग्य
• अधिकतम सिद्धांत लागू होता है

जटिल एकीकरण

• कॉची का अभिन्न प्रमेय
• अवशेष प्रमेय
• पथ स्वतंत्रता
• वास्तविक एकीकरण के लिए अनुप्रयोग

आधुनिक प्रौद्योगिकी में जटिल संख्याएँ

संचार प्रौद्योगिकी

• 5जी/6जी वायरलेस संचार
• ओएफडीएम मॉड्यूलेशन
• एंटीना डिज़ाइन
• चैनल इक्वलाइजेशन
• रडार सिस्टम

कृत्रिम बुद्धिमत्ता

• न्यूरल नेटवर्क वेट्स
• डीप लर्निंग ऑप्टिमाइजेशन
• कंप्यूटर विजन
• प्राकृतिक भाषा प्रसंस्करण
• क्वांटम कंप्यूटिंग

वित्तीय इंजीनियरिंग

• विकल्प मूल्य निर्धारण मॉडल
• जोखिम प्रबंधन
• पोर्टफोलियो अनुकूलन
• व्युत्पन्न मूल्यांकन
• एल्गोरिथम ट्रेडिंग

🔬 जटिल संख्या सीखने के टिप्स

• ज्यामितीय अंतर्ज्ञान: जटिल संख्याओं को जटिल तल पर बिंदुओं के रूप में कल्पना करना संचालन को समझना आसान बनाता है।
• यूलर के सूत्र का उपयोग करना: e^(iθ) = cos θ + i sin θ त्रिकोणमितीय और घातीय कार्यों को जोड़ता है।
• वास्तविक अनुप्रयोग खोजें: अध्ययन करें कि जटिल संख्याओं का उपयोग विद्युत सर्किट, सिग्नल प्रोसेसिंग और अन्य वास्तविक समस्याओं में कैसे किया जाता है।
• प्रोग्रामिंग अभ्यास: पायथन, मैटलाब आदि में जटिल संख्या संचालन को लागू करने से समझ गहरी होती है।