क्रमचय/संचय कैलकुलेटर

चरण-दर-चरण समाधानों के साथ क्रमचय (पी) और संचय (सी) की गणना करें

इनपुट मान

n वस्तुओं में से r वस्तुओं का चयन करने के तरीकों की संख्या की गणना करें

कुल संख्या (n)

चयन संख्या (r)

गणना प्रकार

P(n, r) = ?

क्रम को ध्यान में रखते हुए n वस्तुओं में से r का चयन करें

क्रमचय और संचय

क्रमचय

पी(n, r) = n! / (n - r)!

जब क्रम मायने रखता है

उदाहरण: एबीसी, एसीबी, बीएसी सभी अलग-अलग हैं

संचय

सी(n, r) = n! / (r! × (n - r)!)

जब क्रम मायने नहीं रखता

उदाहरण: एबीसी, एसीबी, बीएसी सभी समान हैं

वास्तविक जीवन के उदाहरण

क्रमचय उदाहरण

• पासवर्ड बनाना
• दौड़ में पहला, दूसरा, तीसरा स्थान निर्धारित करना
• सीट व्यवस्था

संचय उदाहरण

• टीम गठन
• मेनू चयन
• समिति गठन

कॉम्बिनेटरिक्स का इतिहास और आधुनिक अनुप्रयोग

कॉम्बिनेटरिक्स का ऐतिहासिक विकास

कॉम्बिनेटरिक्स प्राचीन भारत और चीन में शुरू हुआ और आधुनिक गणित का एक मुख्य क्षेत्र बन गया है। पास्कल के त्रिकोण और द्विपद प्रमेय से लेकर आधुनिक ग्राफ सिद्धांत और क्रिप्टोग्राफी तक, कॉम्बिनेटरिक्स ने गणित और कंप्यूटर विज्ञान के विकास में महत्वपूर्ण भूमिका निभाई है।

प्राचीन और मध्यकालीन

• भारत (दूसरी शताब्दी ईसा पूर्व): पिंगला के द्विपद गुणांक
• चीन (11वीं शताब्दी): यांग हुई का त्रिकोण
• इस्लामी दुनिया (12वीं शताब्दी): अल-काराजी का कॉम्बिनेटरिक्स
• यूरोप (13वीं शताब्दी): फिबोनाची की कॉम्बिनेटरियल समस्याएँ

आधुनिक युग

• पास्कल (17वीं शताब्दी): संभाव्यता और कॉम्बिनेटरिक्स को जोड़ना
• यूलर (18वीं शताब्दी): जनरेटिंग फ़ंक्शन सिद्धांत
• 20वीं शताब्दी: ग्राफ सिद्धांत, डिजाइन सिद्धांत
• आधुनिक: कंप्यूटर विज्ञान के साथ एकीकरण

संभाव्यता सिद्धांत से संबंध

बुनियादी संभाव्यता गणना

शास्त्रीय संभाव्यता: पी(ए) = अनुकूल परिणाम / कुल परिणाम

क्रमचय संभाव्यता: क्रम-निर्भर घटनाओं की संभाव्यता

संचय संभाव्यता: क्रम-स्वतंत्र घटनाओं की संभाव्यता

सशर्त संभाव्यता: विशिष्ट शर्तों के तहत संभाव्यता

व्यावहारिक अनुप्रयोग उदाहरण

कार्ड गेम: पोकर हैंड संभाव्यता की गणना करना

लॉटरी: जीतने की संभाव्यता की गणना करना

गुणवत्ता नियंत्रण: नमूना निरीक्षण संभाव्यता

आनुवंशिकी: जीन संयोजन संभाव्यता

कॉम्बिनेटरिक्स महारत रणनीति

• समस्या वर्गीकरण: क्रमचय/संचय को अलग करने के लिए क्रम के महत्व को पहले निर्धारित करें।
• चरण-दर-चरण दृष्टिकोण: जटिल समस्याओं को छोटे इकाइयों में तोड़ें।
• समरूपता का उपयोग करें: गणना को सरल बनाने के लिए समस्या समरूपता खोजें।
• व्यावहारिक अनुप्रयोग: अंतर्ज्ञान बनाने के लिए दैनिक समस्याओं पर कॉम्बिनेटरिक्स लागू करें।
• प्रोग्रामिंग अभ्यास: कोडिंग के माध्यम से कॉम्बिनेटरियल एल्गोरिदम लागू करें।