Kalkulator Bilangan Kompleks
Hitung penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian bilangan kompleks.
(a + bi) + (c + di)
Penjumlahan dan Pengurangan
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i
Perkalian dan Pembagian
(a + bi) × (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
(a + bi) ÷ (c + di) = [(ac + bd) + (bc - ad)i] / (c² + d²)
Sifat Dasar Bilangan Kompleks
- i² = -1 (kuadrat dari satuan imajiner)
- Konjugat kompleks: konjugat dari a + bi adalah a - bi
- Modulus: |a + bi| = √(a² + b²)
- Untuk pembagian, kalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat dari penyebut
Penemuan dan Perkembangan Bilangan Kompleks
Bilangan kompleks ditemukan oleh matematikawan Italia pada abad ke-16 saat menyelesaikan persamaan kubik. Awalnya disebut "bilangan imajiner" dan dianggap tidak ada, sekarang mereka memainkan peran penting dalam fisika, teknik, ilmu komputer, dan banyak bidang lainnya.
Perkembangan Sejarah
- • 1545: Pertama kali disebutkan oleh Cardano
- • 1637: Descartes menciptakan istilah "imajiner"
- • 1748: Euler memperkenalkan simbol i
- • 1797: Gauss memperkenalkan konsep bidang kompleks
- • 1831: Gauss menciptakan istilah "bilangan kompleks"
Matematikawan Kunci
- • Euler: rumus e^(iπ) + 1 = 0
- • Gauss: Bidang kompleks dan teorema fundamental
- • Hamilton: Penemuan kuaternion
- • Riemann: Pengembangan teori fungsi kompleks
- • Cauchy: Teori integrasi kompleks
Interpretasi Geometris Bilangan Kompleks
Bidang Kompleks (Bidang Gaussian)
Sumbu riil: sumbu horizontal (sumbu x)
Sumbu imajiner: sumbu vertikal (sumbu y)
Bilangan kompleks z = a + bi: titik (a, b)
Modulus: jarak dari titik asal |z| = √(a² + b²)
Argumen: sudut dengan sumbu riil θ
Representasi Bentuk Polar
Bentuk polar: z = r(cos θ + i sin θ)
Rumus Euler: e^(iθ) = cos θ + i sin θ
Bentuk eksponensial: z = re^(iθ)
Perkalian: kalikan modulus dan tambahkan argumen
Pangkat: terapkan teorema De Moivre
Bilangan Kompleks dalam Fisika
Teknik Elektro
- • Analisis sirkuit AC
- • Perhitungan impedansi
- • Representasi hubungan fasa
- • Perhitungan daya
- • Desain filter
Mekanika Kuantum
- • Representasi fungsi gelombang
- • Persamaan Schrödinger
- • Amplitudo probabilitas
- • Superposisi keadaan kuantum
- • Prinsip ketidakpastian
Pemrosesan Sinyal
- • Transformasi Fourier
- • Analisis domain frekuensi
- • Filter digital
- • Pemrosesan audio
- • Pemrosesan gambar
Aplikasi dalam Ilmu Komputer
Grafik Komputer
Rotasi 2D: mengimplementasikan rotasi menggunakan perkalian kompleks
Fraktal: set Mandelbrot, set Julia
Animasi: rotasi dan transformasi yang mulus
Pemrosesan warna: konversi ruang warna HSV
Pengembangan game: pergerakan dan rotasi karakter
Algoritma
FFT: Transformasi Fourier Cepat
Perkalian polinomial: komputasi yang efisien
Pencocokan string: algoritma Rabin-Karp
Analisis numerik: algoritma pencarian akar
Kriptografi: kriptografi kurva eliptik
Fungsi dan Analisis Kompleks
Karakteristik Fungsi Kompleks
Fungsi Analitik
- • Memenuhi persamaan Cauchy-Riemann
- • Dapat diturunkan tak terhingga
- • Dapat direpresentasikan oleh deret Taylor
- • Prinsip maksimum berlaku
Integrasi Kompleks
- • Teorema integral Cauchy
- • Teorema residu
- • Kemerdekaan jalur
- • Aplikasi untuk integrasi riil
Bilangan Kompleks dalam Teknologi Modern
Teknologi Komunikasi
- • Komunikasi nirkabel 5G/6G
- • Modulasi OFDM
- • Desain antena
- • Pemerataan saluran
- • Sistem radar
Kecerdasan Buatan
- • Bobot jaringan saraf
- • Optimasi pembelajaran mendalam
- • Visi komputer
- • Pemrosesan bahasa alami
- • Komputasi kuantum
Teknik Keuangan
- • Model penetapan harga opsi
- • Manajemen risiko
- • Optimasi portofolio
- • Penilaian derivatif
- • Perdagangan algoritmik
🔬 Kiat Belajar Bilangan Kompleks
• Intuisi geometris: Memvisualisasikan bilangan kompleks sebagai titik pada bidang kompleks membuat operasi lebih mudah dipahami.
• Menggunakan rumus Euler: e^(iθ) = cos θ + i sin θ menghubungkan fungsi trigonometri dan eksponensial.
• Temukan aplikasi nyata: Pelajari bagaimana bilangan kompleks digunakan dalam sirkuit listrik, pemrosesan sinyal, dan masalah nyata lainnya.
• Latihan pemrograman: Menerapkan operasi bilangan kompleks dalam Python, MATLAB, dll. memperdalam pemahaman.