Kalkulator FPB/KPK
Hitung Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari dua atau lebih bilangan.
Format Input
- • Dipisahkan koma: 12, 18, 24
- • Dipisahkan spasi: 12 18 24
- • Dipisahkan baris: masukkan setiap bilangan pada baris baru
- • Hanya bilangan bulat positif yang diizinkan
Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)
Bilangan terbesar yang membagi kedua bilangan
FPB(a, b) × KPK(a, b) = a × b
Dihitung menggunakan algoritma Euclidean
Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)
Kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan
KPK(a, b) = (a × b) / FPB(a, b)
Digunakan untuk penjumlahan pecahan
Aplikasi Kehidupan Nyata
Aplikasi FPB
- • Penyederhanaan pecahan
- • Masalah penataan ubin
- • Kriptografi
Aplikasi KPK
- • Penjumlahan pecahan
- • Masalah siklus
- • Penjadwalan
Sejarah dan Perkembangan Teori Bilangan
Faktor Persekutuan Terbesar dan Kelipatan Persekutuan Terkecil adalah konsep dasar dalam teori bilangan yang telah dipelajari sejak zaman Yunani kuno. Mereka pertama kali dibahas secara sistematis dalam 'Elemen' Euclid (sekitar 300 SM) dan terus memainkan peran penting dalam matematika, ilmu komputer, kriptografi, dan berbagai bidang lainnya saat ini.
Kontribusi Matematikawan Kuno
- • Euclid: Mengembangkan algoritma Euclidean
- • Diophantus: Mempelajari persamaan Diophantine
- • Fermat: Memajukan teori bilangan prima
- • Gauss: Membangun teori kongruensi
- • Euler: Mempelajari fungsi teori bilangan
Aplikasi Modern
- • Kriptografi: Algoritma enkripsi RSA
- • Ilmu Komputer: Fungsi hash, bilangan pseudorandom
- • Teori Musik: Analisis harmoni dan ritme
- • Teknik: Pemrosesan sinyal, analisis periodik
- • Biologi: Analisis urutan gen
Prinsip dan Perluasan Algoritma Euclidean
Algoritma Euclidean Dasar
Algoritma ini memiliki kompleksitas waktu O(log min(a, b)), membuatnya sangat efisien.
Algoritma Euclidean yang Diperluas
Ini digunakan untuk menemukan invers modular dan merupakan komponen inti dari enkripsi RSA.
Aplikasi dalam Kriptografi
Enkripsi RSA
Pembuatan kunci: Pilih dua bilangan prima besar p, q
Modulus: n = p × q
Totient Euler: φ(n) = (p-1)(q-1)
Kunci publik: Pilih e sedemikian rupa sehingga fpb(e, φ(n)) = 1
Kunci pribadi: Hitung d sedemikian rupa sehingga ed ≡ 1 (mod φ(n))
Pertukaran Kunci Diffie-Hellman
Prinsip: Menggunakan kesulitan masalah logaritma diskrit
Parameter publik: Bilangan prima p dan generator g
Kunci pribadi: Setiap pihak memilih bilangan rahasia a, b
Kunci publik: Tukar g^a mod p, g^b mod p
Rahasia bersama: Hitung g^(ab) mod p
Aplikasi dalam Ilmu Komputer
Desain Algoritma
- • Penentuan ukuran tabel hash
- • Generator bilangan pseudorandom
- • Pemeriksaan Redundansi Siklik (CRC)
- • Algoritma bagi dan taklukkan
- • Pemrograman dinamis
Struktur Data
- • Desain fungsi hash
- • Filter Bloom
- • Daftar lewati
- • Penyeimbangan pohon
- • Optimasi cache
Pemrosesan Paralel
- • Strategi pembagian kerja
- • Periode sinkronisasi
- • Pola akses memori
- • Penyeimbangan beban
- • Desain sistem terdistribusi
Pemecahan Masalah Kehidupan Nyata
Manajemen Jadwal
Jadwal berulang: Menemukan hari yang tumpang tindih dari beberapa siklus
Kerja shift: Desain jadwal kerja yang optimal
Waktu rapat: Menemukan waktu yang tersedia untuk semua peserta
Optimasi pengiriman: Rute pengiriman yang efisien
Alokasi Sumber Daya
Masalah pengemasan: Menghitung unit pengemasan minimum
Pembelian bahan: Kuantitas pembelian yang optimal
Komposisi tim: Pembagian tim yang sama
Alokasi anggaran: Distribusi sumber daya yang proporsional
Konsep Teori Bilangan Lanjutan
Fungsi Teori Bilangan
Fungsi totient Euler φ(n)
Jumlah bilangan bulat positif ≤ n yang koprima dengan n
Fungsi Möbius μ(n)
Generalisasi teori bilangan dari prinsip inklusi-eksklusi
Fungsi pembagi d(n)
Jumlah pembagi positif dari n
Fungsi jumlah pembagi σ(n)
Jumlah semua pembagi positif dari n
Optimasi dan Kinerja
Optimasi Algoritma
- • Algoritma FPB biner (algoritma Stein)
- • Perhitungan FPB paralel
- • Implementasi yang efisien untuk bilangan besar
- • Pemanfaatan memoization
- • Akselerasi perangkat keras (pemanfaatan GPU)
Pertimbangan Praktis
- • Pencegahan overflow
- • Penanganan kesalahan titik-mengambang
- • Optimasi penggunaan memori
- • Implementasi yang ramah cache
- • Penanganan pengecualian
🔢 Panduan Belajar Teori Bilangan
• Bangun fondasi: Pahami secara menyeluruh konsep dasar seperti bilangan prima, bilangan komposit, dan faktorisasi prima.
• Implementasi algoritma: Program algoritma Euclidean sendiri untuk memahami prinsip kerjanya.
• Masalah terapan: Terapkan FPB/KPK pada masalah nyata untuk mengembangkan keterampilan pemecahan masalah.
• Studi lanjutan: Perluas ke Algoritma Euclidean yang Diperluas, Teorema Sisa Cina, dll.