Kalkulator GCD/LCM
Kira Pembahagi Sepunya Terbesar (GCD) dan Gandaan Sepunya Terkecil (LCM) bagi dua atau lebih nombor.
Format Input
- • Dipisahkan koma: 12, 18, 24
- • Dipisahkan ruang: 12 18 24
- • Dipisahkan baris: masukkan setiap nombor pada baris baru
- • Hanya integer positif dibenarkan
Pembahagi Sepunya Terbesar (GCD)
Nombor terbesar yang membahagi kedua-dua nombor
GCD(a, b) × LCM(a, b) = a × b
Dikira menggunakan algoritma Euclidean
Gandaan Sepunya Terkecil (LCM)
Gandaan sepunya terkecil bagi dua nombor
LCM(a, b) = (a × b) / GCD(a, b)
Digunakan untuk penambahan pecahan
Aplikasi Kehidupan Sebenar
Aplikasi GCD
- • Penyerhanaan pecahan
- • Masalah susunan jubin
- • Kriptografi
Aplikasi LCM
- • Penambahan pecahan
- • Masalah kitaran
- • Penjadualan
Sejarah dan Perkembangan Teori Nombor
Pembahagi Sepunya Terbesar dan Gandaan Sepunya Terkecil adalah konsep asas dalam teori nombor yang telah dikaji sejak Yunani purba. Ia pertama kali ditangani secara sistematik dalam 'Elements' Euclid (sekitar 300 SM) dan terus memainkan peranan penting dalam matematik, sains komputer, kriptografi, dan pelbagai bidang lain hari ini.
Sumbangan Ahli Matematik Purba
- • Euclid: Membangunkan algoritma Euclidean
- • Diophantus: Mengkaji persamaan Diophantine
- • Fermat: Memajukan teori nombor prima
- • Gauss: Mewujudkan teori kongruens
- • Euler: Mengkaji fungsi teori nombor
Aplikasi Moden
- • Kriptografi: Algoritma penyulitan RSA
- • Sains Komputer: Fungsi hash, nombor pseudorandom
- • Teori Muzik: Analisis harmoni dan irama
- • Kejuruteraan: Pemprosesan isyarat, analisis berkala
- • Biologi: Analisis jujukan gen
Prinsip dan Sambungan Algoritma Euclidean
Algoritma Euclidean Asas
Algoritma ini mempunyai kerumitan masa O(log min(a, b)), menjadikannya sangat cekap.
Algoritma Euclidean Diperluas
Ini digunakan untuk mencari songsang modular dan merupakan komponen teras penyulitan RSA.
Aplikasi dalam Kriptografi
Penyulitan RSA
Penjanaan kunci: Pilih dua prima besar p, q
Modulus: n = p × q
Totient Euler: φ(n) = (p-1)(q-1)
Kunci awam: Pilih e supaya gcd(e, φ(n)) = 1
Kunci peribadi: Kira d supaya ed ≡ 1 (mod φ(n))
Pertukaran Kunci Diffie-Hellman
Prinsip: Menggunakan kesukaran masalah logaritma diskret
Parameter awam: Prima p dan penjana g
Kunci peribadi: Setiap pihak memilih nombor rahsia a, b
Kunci awam: Tukar g^a mod p, g^b mod p
Rahsia dikongsi: Kira g^(ab) mod p
Aplikasi dalam Sains Komputer
Reka Bentuk Algoritma
- • Penentuan saiz jadual hash
- • Penjana nombor pseudorandom
- • Semakan Redundansi Kitaran (CRC)
- • Algoritma bahagi dan takluk
- • Pengaturcaraan dinamik
Struktur Data
- • Reka bentuk fungsi hash
- • Penapis Bloom
- • Senarai lompat
- • Pengimbangan pokok
- • Pengoptimuman cache
Pemprosesan Selari
- • Strategi pembahagian kerja
- • Tempoh penyegerakan
- • Corak akses memori
- • Pengimbangan beban
- • Reka bentuk sistem teragih
Penyelesaian Masalah Kehidupan Sebenar
Pengurusan Jadual
Jadual berulang: Mencari hari bertindih beberapa kitaran
Kerja syif: Reka bentuk jadual kerja optimum
Masa mesyuarat: Mencari masa yang tersedia untuk semua peserta
Pengoptimuman penghantaran: Laluan penghantaran cekap
Peruntukan Sumber
Masalah pembungkusan: Mengira unit pembungkusan minimum
Pembelian bahan: Kuantiti pembelian optimum
Komposisi pasukan: Pembahagian pasukan sama rata
Peruntukan bajet: Pengagihan sumber berkadar
Konsep Teori Nombor Lanjutan
Fungsi Teori Nombor
Fungsi totient Euler φ(n)
Bilangan integer positif ≤ n yang koprime dengan n
Fungsi Möbius μ(n)
Generalisasi teori nombor prinsip kemasukan-pengecualian
Fungsi pembahagi d(n)
Bilangan pembahagi positif n
Fungsi jumlah pembahagi σ(n)
Jumlah semua pembahagi positif n
Pengoptimuman dan Prestasi
Pengoptimuman Algoritma
- • Algoritma GCD perduaan (algoritma Stein)
- • Pengiraan GCD selari
- • Pelaksanaan cekap untuk nombor besar
- • Penggunaan memoization
- • Pecutan perkakasan (penggunaan GPU)
Pertimbangan Praktikal
- • Pencegahan limpahan
- • Pengendalian ralat titik terapung
- • Pengoptimuman penggunaan memori
- • Pelaksanaan mesra cache
- • Pengendalian pengecualian
🔢 Panduan Kajian Teori Nombor
• Bina asas: Fahami dengan teliti konsep asas seperti prima, nombor komposit, dan pemfaktoran prima.
• Pelaksanaan algoritma: Program algoritma Euclidean sendiri untuk memahami prinsip kerjanya.
• Masalah aplikasi: Gunakan GCD/LCM pada masalah sebenar untuk membangunkan kemahiran penyelesaian masalah.
• Kajian lanjutan: Kembangkan kepada Algoritma Euclidean Diperluas, Teorem Baki Cina, dll.